九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2016年8月実施 線形代数

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Zero

Description

$1$ 次独立な $n$ 次元ベクトルの組 $\{v_1,v_2,\dots,v_k\} \subseteq R^n$ が張る部分空間 $K$ に対し，写像 $f:K \rightarrow R^k$ を次のように定義する．任意の $x = \sum_{i = 1}^k \alpha_iv_i \in K$ に対し，$f(x) = \begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_k \\ \end{pmatrix}$.

以下の各問に答えよ．

(1) 任意の $x,y \in K$ に対し，$f(x + y) = f(x) + f(y)$ が成り立つことを示せ．

(2) 任意の $x \in K$, 任意の実数 $c$ に対し，$f(cx) = cf(x)$ が成り立つことを示せ．

(3) $\{x_1,x_2,\dots,x_l\} \subseteq K$ が $1$ 次独立のとき，$\{f(x_1),f(x_2),\dots,f(x_l)\}$ も $1$ 次独立であることを示せ．

题目描述

设 $\{v_1,v_2,\ldots,v_k\}\subseteq\mathbb R^n$ 线性无关，令 $K$ 为它们张成的子空间。对任意

$$x=\sum_{i=1}^k\alpha_iv_i\in K,$$

定义坐标映射

$$f:K\to\mathbb R^k,\qquad f(x)=\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_k\end{pmatrix}.$$

1. 证明对任意 $x,y\in K$，有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$。
2. 证明对任意 $x\in K$ 及任意实数 $c$，有 $f(cx)=cf(x)$。
3. 证明若 $\{x_1,\ldots,x_l\}\subseteq K$ 线性无关，则 $\{f(x_1),\ldots,f(x_l)\}$ 也线性无关。

考点

• 线性变换：从基展开系数的唯一性验证坐标映射的加法性和齐次性。
• 线性无关性：利用坐标映射的单射性，将像向量的线性关系还原为原向量的线性关系。
• 向量空间与基坐标：理解由一组线性无关向量张成的子空间与 $\mathbb R^k$ 之间的坐标同构。

Kai

(1)

$y = \sum_{i = 1}^K\beta_iv_i \in K$ とする、

$$\begin{aligned} x + y &= \sum_{i = 1}^K\alpha_iv_i + \sum_{i = 1}^K\beta_iv_i \\ &= \sum_{i = 1}^K(\alpha_i + \beta_i)v_i \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} f(x + y) = \begin{pmatrix} \alpha_1 + \beta_1 \\ \vdots \\ \alpha_K + \beta_K \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_K \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \vdots \\ \beta_K \end{pmatrix} \\ &= f(x) + f(y) \end{aligned}$$

(2)

$$cx = c\sum_{i = 1}^K\alpha_iv_i = \sum_{i = 1}^Kc\alpha_ic_i$$

$$f(cx) = \begin{pmatrix} c\alpha_1 \\ \vdots \\ c\alpha_K \end{pmatrix} = c\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_K \end{pmatrix} = cf(x)$$

(3)

$$c_1f(x_1) + c_2f(x_2) + \cdots + c_lf(x_l) = 0 \Leftrightarrow f(c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_lx_l) = 0$$

$f(x) = 0$ となるには、

$$f(x) = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow x\sum_{i = 0}^K 0 \cdot v_i = 0$$

よって、

$$c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots +c_lx_l = 0$$

$\{x_1,x_2,\dots,x_l\} \subseteq K$ は一次独立であるから、

$$c_1 = c_2 = \cdots = c_l = 0$$

よって、$\{f(x_1),f(x_2),\dots,f(x_l)\}$ も一次独立