九州大学システム情報科学府情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2016年8月実施微分方程式

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Zero, 祭音Myyura

出典：九州大学公式問題。次の微分方程式の一般解を求めよ．

(1) $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \frac{1}{1 + x^2}$

(2) $(\sqrt{xy} - x) \frac{dy}{dx} = -y$

求下列两个一阶微分方程的通解，其中 $y$ 是 $x$ 的函数：

\frac{dy}{dx}+\frac yx=\frac1{1+x^2}.

(\sqrt{xy}-x)\frac{dy}{dx}=-y.

\begin{aligned} \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} &= \frac{1}{1 + x^2} \\ xy' + y &= \frac{x}{1 + x^2} \\ \frac{d}{dx}(xy) &= \frac{x}{1 + x^2} \end{aligned}

両辺を積分

\begin{aligned} xy &= \int\frac{x}{1 + x^2}dx \\ xy &= \frac{1}{2}\log(1 + x^2) + C \\ \therefore y &= \frac{1}{2x}\log(1 + x^2) + Cx^{-1} \end{aligned}

ただし、解は $x=0$ を含まない区間上で考える。

まず $x>0,\ y>0$ の解を求める。

\begin{aligned} (\sqrt{xy} - x)\frac{dy}{dx} &= -y \notag \\ (\sqrt{\frac{y}{x}} - 1)\frac{dy}{dx} &= -\frac{y}{x} \tag{*} \\ \end{aligned}

$u = \frac{y}{x} \Leftrightarrow y = ux$ とおく

$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$

$(*)$ に代入

\begin{aligned} (\sqrt{u} - 1)(u + x\frac{du}{dx}) &= -u \\ u + x\frac{du}{dx} &= -\frac{u}{\sqrt{u} - 1} \\ x\frac{du}{dx} &= -u - \frac{u}{\sqrt{u} - 1} \\ x\frac{du}{dx} &= - \frac{u \cdot \sqrt{u}}{\sqrt{u} - 1} \\ -\frac{\sqrt{u} - 1}{u\sqrt{u}}du &= \frac{1}{x}dx \end{aligned}

\begin{aligned} \int-\frac{u^{\frac{1}{2}} - 1}{u^{\frac{3}{2}}}du &= \int\frac{1}{x}dx \\ \int-\frac{1}{u}du + \int u^{-\frac{3}{2}}du &= \log x + C \\ -\log u - 2u^{-\frac{1}{2}} &= \log x + C \\ -2u^{-\frac{1}{2}} &= \log ux + C \\ -2u^{-\frac{1}{2}} &= \log y + C \end{aligned}

$u = \frac{y}{x}$ より、

\begin{aligned} -2\sqrt{\frac{x}{y}} &= \log y + C \\ \log y + 2\sqrt{\frac{x}{y}} &= -C \\ \log y + \log e^{2\sqrt{\frac{x}{y}}} &= -C \\ \log (ye^{2\sqrt{\frac{x}{y}}}) &= -C \end{aligned}

したがって、この範囲での解は

\log y+2\sqrt{\frac{x}{y}}=C.

また $y\equiv0$ も解である。 $x<0,\ y<0$ の範囲では $X=-x,\ Y=-y$ とおいて同様に計算すると

\log(-y)-2\sqrt{\frac{x}{y}}=C

を得る。

正の象限では $y=x$ で元の方程式が $0=-y$ となるため、その点を解に含めない。以上の非零解は各象限内の区間で考える。 $x=0$ を含む解を考える場合は、元の方程式から $y(0)=0$ が必要であり、接続点での微分可能性も別途確認する。