九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2015年8月実施 線形代数

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Zero

Description

任意の行列 $A$ を引数に取り行列を返す関数 $f(A) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}A & A \\ A & -A\end{pmatrix}$ について　以下の各問に答えよ。

(1) $A$ が直交行列のとき、$f(A)$ も直交行列となることを示せ。

(2) $A_0$ を $1 \times 1$ 行列 $A_0 = (1)$ とし,任意の整数 $n \ge 1$ に対し, 行列 $A_n$ を $A_n = f(A_{n-1})$ と定義する。このとき, 各成分が $1$ の $2^n$ 次元行ベクトル $\boldsymbol{1} = \{1,1,\dots,1\}$ と行列 $A_n$ の積 $\boldsymbol{1}A_n$ を求めよ。

(3) $\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\dots,\boldsymbol{v}_d\}$を $A$ の列空間 ( $A$ の列ベクトルが張る部分空間 ) の基底とする。このとき,

$$\bigg\{\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_1\\\boldsymbol{v}_1\end{pmatrix},\dots,\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_d\\\boldsymbol{v}_d\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_1\\-\boldsymbol{v}_1\end{pmatrix},\dots,\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_d\\-\boldsymbol{v}_d\end{pmatrix}\bigg\}$$

が $f(A)$ の列空間の基底となることを示せ。

题目描述

对任意矩阵 $A$ 定义

$$f(A)=\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix} A&A\\ A&-A \end{pmatrix}.$$

回答下列问题：

1. 证明若 $A$ 是正交矩阵，则 $f(A)$ 也是正交矩阵。
2. 令 $A_0=(1)$，并对任意整数 $n\ge1$ 递归定义 $A_n=f(A_{n-1})$。设 $\boldsymbol1=(1,1,\ldots,1)$ 是 $2^n$ 维行向量，求 $\boldsymbol1A_n$。
3. 若 $\{\boldsymbol v_1,\ldots,\boldsymbol v_d\}$ 是 $A$ 的列空间（由 $A$ 的列向量张成的子空间）的一组基，证明
   $$\left\{ \binom{\boldsymbol v_1}{\boldsymbol v_1},\ldots, \binom{\boldsymbol v_d}{\boldsymbol v_d}, \binom{\boldsymbol v_1}{-\boldsymbol v_1},\ldots, \binom{\boldsymbol v_d}{-\boldsymbol v_d} \right\}$$
   是 $f(A)$ 列空间的一组基。

考点

• 正交矩阵：通过分块矩阵乘法验证 $f(A)^\top f(A)=I$。
• 递归分块矩阵：分析 Hadamard 型递归结构，求全 1 行向量与 $A_n$ 的乘积。
• 列空间与线性无关：描述 $f(A)$ 的列向量张成空间，并证明所给 $2d$ 个分块向量既张成该空间又线性无关。

Kai

(1)

$f(A)$ が直交行列 $\Leftrightarrow$ $(f(A))^{-1} = (f(A))^{-1}$ を示す

$$(f(A))^{-1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} A^{\top} & A^{\top} \\ A^{\top} & (-A)^{\top} \\ \end{pmatrix}$$

$A$ が直交行列ので, $A^{\top} = A^{-1}$

$$\begin{align} (f(A))^{\top} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} A^{-1} & A^{-1} \\ A^{-1} & -A^{-1} \\ \end{pmatrix} \end{align}$$

$f(A)^{-1}$ を求める

$$\begin{aligned} \left ( \begin{array}{cc|cc} \frac{A}{\sqrt{2}} & \frac{A}{\sqrt{2}} & 1 & 0 \\ \frac{A}{\sqrt{2}} & -\frac{A}{\sqrt{2}} & 0 & 1 \\ \end{array} \right) &= \left ( \begin{array}{cc|cc} A & A & \sqrt{2} & 0 \\ A & -A & 0 & \sqrt{2} \\ \end{array} \right) \\ &= \left ( \begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & \frac{\sqrt{2}}{A} & 0 \\ 1 & -1 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{A} \end{array} \right) \\ &= \left ( \begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & \frac{\sqrt{2}}{A} & 0 \\ 0 & -2 & -\frac{\sqrt{2}}{A} & \frac{\sqrt{2}}{A} \\ \end{array} \right) \\ &= \left ( \begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & \frac{\sqrt{2}}{A} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}A} & -\frac{1}{\sqrt{2}A} \\ \end{array} \right) \\ &= \left ( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}A} & \frac{1}{\sqrt{2}A} \\ 0 & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}A} & -\frac{1}{\sqrt{2}A} \end{array} \right) \end{aligned}$$

$$\begin{align} f(A)^{-1} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \frac{1}{A} & \frac{1}{A} \\ \frac{1}{A} & -\frac{1}{A} \\ \end{pmatrix} \notag \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} A^{-1} & A^{-1} \\ A^{-1} & -A^{-1} \\ \end{pmatrix} \end{align}$$

式(1)(2)より、

$(f(A))^{\top} = (f(A))^{-1}$ も直交行列

(2)

$A_n = f(A_{n-1})$

$A_0 = (1)$

$A_1 = f(A_0) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & -1 \\\end{pmatrix}$

$$A_2 = f(A_1) = \frac{1}{(\sqrt{2})^2} \left( \begin{array}{cc:cc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ \hdashline 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ \end{array} \right)$$

$$A_n = f(A_{n-1}) = \frac{1}{(\sqrt{2}^n)} \begin{pmatrix} A_{n-1} & A_{n-1} \\ A_{n-1} & -A_{n-1} \\ \end{pmatrix}$$

$$\boldsymbol{1} A_n = \overbrace{(1,1,\dots,1)}^{2^n}\frac{1}{(\sqrt{2})^n} \begin{pmatrix} A_{n-1} & A_{n-1} \\ A_{n-1} & -A_{n-1} \\ \end{pmatrix}$$

$\begin{pmatrix}A_{n-1} & A_{n-1} \\ A_{n-1} & A_{n-1}\\\end{pmatrix}$ の奇数列目は全て $\frac{1}{\sqrt{2}}$,偶数列目は $\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}$ の交互

$$\begin{aligned} \boldsymbol{1}A_n &= \frac{1}{\sqrt{2}^n}(1 \times 2^n,0,1 \times 2^n,0,1 \times 2^n,0,\dots,1 \times 2^n,0) \\ &= ((\sqrt{2})^n,0,(\sqrt{2})^n,0(\sqrt{2})^n,0,\dots,(\sqrt{2})^n,0) \end{aligned}$$

(3)

$A = (c_1v_1,c_2v_2,\dots,c_dv_d)$ と表せる

$$\begin{aligned} f(A) &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} c_1v_1,c_2v_2,\dots,c_dv_d,c_1v_1,c_2v_2,\dots,c_dv_d \\ c_1v_1,c_2v_2,\dots,c_dv_d,-c_1v_1,-c_2v_2,-c_dv_d \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg(c_1\begin{pmatrix} v_1 \\v_1 \end{pmatrix},\dots, c_d\begin{pmatrix} v_d \\v_d \end{pmatrix}, c_1\begin{pmatrix} v_1 \\-v_1 \end{pmatrix},\dots c_d\begin{pmatrix} v_d \\-v_d \end{pmatrix} \bigg) \end{aligned}$$

となるので、

$$\bigg\{ \begin{pmatrix} v_1 \\v_1 \end{pmatrix},\dots \begin{pmatrix} v_d \\v_d \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_1 \\-v_1 \end{pmatrix},\dots, \begin{pmatrix} v_d \\-v_d \end{pmatrix} \bigg\}$$

は $f(A)$ の列空間の基底となる