九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2015年8月実施 線形代数

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Author

Zero, 祭音Myyura

Description

任意の行列 $A$ を引数に取り行列を返す関数 $f(A) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}A & A \\ A & -A\end{pmatrix}$ について　以下の各問に答えよ。

(1) $A$ が直交行列のとき、 $f(A)$ も直交行列となることを示せ。

(2) $A_0$ を $1 \times 1$ 行列 $A_0 = (1)$ とし,任意の整数 $n \ge 1$ に対し, 行列 $A_n$ を $A_n = f(A_{n-1})$ と定義する。このとき, 各成分が $1$ の $2^n$ 次元行ベクトル $\boldsymbol{1} = \{1,1,\dots,1\}$ と行列 $A_n$ の積 $\boldsymbol{1}A_n$ を求めよ。

(3) $\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\dots,\boldsymbol{v}_d\}$ を $A$ の列空間 ( $A$ の列ベクトルが張る部分空間 ) の基底とする。このとき,

$$\bigg\{\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_1\\\boldsymbol{v}_1\end{pmatrix},\dots,\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_d\\\boldsymbol{v}_d\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_1\\-\boldsymbol{v}_1\end{pmatrix},\dots,\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_d\\-\boldsymbol{v}_d\end{pmatrix}\bigg\}$$

が $f(A)$ の列空間の基底となることを示せ。

题目描述

对任意矩阵 $A$ 定义分块矩阵函数

$$f(A)=\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix} A&A\\ A&-A \end{pmatrix}.$$

回答下列问题：

1. 证明若 $A$ 是正交矩阵，则 $f(A)$ 也是正交矩阵。

2. 令 $A_0$ 为 $1\times1$ 矩阵 $(1)$，并对每个整数 $n\ge1$ 递归定义

   $$A_n=f(A_{n-1}).$$

   令 $\boldsymbol1=(1,1,\ldots,1)$ 为各分量均为 $1$ 的 $2^n$ 维行向量，求乘积 $\boldsymbol1A_n$。

3. 若 $\{\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\ldots,\boldsymbol v_d\}$ 是 $A$ 的列空间（即由 $A$ 的列向量张成的子空间）的一组基，证明下列 $2d$ 个分块列向量构成 $f(A)$ 的列空间的一组基：

$$\left\{ \begin{pmatrix}\boldsymbol v_1\\\boldsymbol v_1\end{pmatrix}, \ldots, \begin{pmatrix}\boldsymbol v_d\\\boldsymbol v_d\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}\boldsymbol v_1\\-\boldsymbol v_1\end{pmatrix}, \ldots, \begin{pmatrix}\boldsymbol v_d\\-\boldsymbol v_d\end{pmatrix} \right\}.$$

Kai

(1)

$A^\top A=I$ より

$$\begin{aligned} f(A)^\top f(A) &=\frac12 \begin{pmatrix}A^\top&A^\top\\A^\top&-A^\top\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A&A\\A&-A\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}A^\top A&0\\0&A^\top A\end{pmatrix} =I. \end{aligned}$$

したがって $f(A)$ も直交行列である。

(2)

$H=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ とおくと $A_n=H\otimes A_{n-1}=H^{\otimes n}$ である。 $\boldsymbol{u}_n=\boldsymbol{1}_{2^n}A_n$ とおけば

$$\boldsymbol{u}_n =\bigl((1,1)H\bigr)\otimes\boldsymbol{u}_{n-1} =(\sqrt2,0)\otimes\boldsymbol{u}_{n-1}, \qquad \boldsymbol{u}_0=(1).$$

よって

$$\boxed{\boldsymbol{1}_{2^n}A_n =\left(2^{n/2},0,\ldots,0\right)}.$$

(3)

$A$ の各列を $\boldsymbol{a}_j$ とすると、$f(A)$ の列は

$$\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}\boldsymbol{a}_j\\\boldsymbol{a}_j\end{pmatrix}, \qquad \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}\boldsymbol{a}_j\\-\boldsymbol{a}_j\end{pmatrix}$$

である。各 $\boldsymbol{a}_j$ は $\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_d$ の線形結合であり、逆に各 $\boldsymbol{v}_i$ は $A$ の列の線形結合なので、問題文の $2d$ 個のベクトルは $f(A)$ の列空間を張る。

さらに

$$\sum_i\alpha_i\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_i\\\boldsymbol{v}_i\end{pmatrix} +\sum_i\beta_i\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_i\\-\boldsymbol{v}_i\end{pmatrix} =0$$

ならば、上下の成分から $\sum_i(\alpha_i+\beta_i)\boldsymbol{v}_i=0$ および $\sum_i(\alpha_i-\beta_i)\boldsymbol{v}_i=0$ を得る。 $\boldsymbol{v}_i$ は一次独立なので全ての $\alpha_i,\beta_i$ は $0$ である。したがって問題文の集合は基底である。