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九州大学 システム情報科学府 情報学専攻・情報知能工学専攻・電気電子工学専攻 共通 2014年度入学 数学 問4（複素関数論）

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思齐塾, 祭音Myyura

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出典：九州大学公式問題（保存版）。

正則関数 f(z)f(z) を考える。ただし zz は複素数, i=−1i = \sqrt{-1} とする。次の各問に答えよ。

(1) Re(f(z))Re(f(z)) は, f(z)f(z) の実部である。 Re(f(z))=sin⁡xcosh⁡yRe(f(z)) = \sin x \cosh y で表されるとき, f(z)f(z) を求めよ。ただし, z=x+iyz = x + iy , xx と yy は実数である。

(2) 問(1) で求めた f(z)f(z) について考える。方程式 f(z)=0f(z) = 0 を解け。

题目描述​

设 f(z)f(z) 为解析函数，z=x+iyz=x+iy，其中 x,yx,y 为实数且 i=−1i=\sqrt{-1}。回答下列问题：

  1. 已知 f(z)f(z) 的实部为

    Re⁡f(z)=sin⁡xcosh⁡y,\operatorname{Re}f(z)=\sin x\cosh y,

    求 f(z)f(z)。应保留由实部无法确定的纯虚常数。

  2. 对第 1 问所得的一般形式的 f(z)f(z)，求方程

    f(z)=0f(z)=0

    的全部复数解；解集应体现上述实常数参数。

Kai​

(1) Re(f(z))=u(x,y)=sin⁡xcosh⁡yRe(f(z)) = u(x,y) = \sin x \cosh y

Cauchy-Riemann の方程式より、

∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
∂u∂x=cos⁡xcosh⁡y=∂v∂y\frac{\partial u}{\partial x} = \cos x \cosh y = \frac{\partial v}{\partial y}
v(x,y)=∫cos⁡xcosh⁡ydy=cos⁡xsinh⁡y+h(x)v(x, y) = \int \cos x \cosh y dy = \cos x \sinh y + h(x)
∂u∂y=sin⁡xsinh⁡y=−∂v∂x=−(−sin⁡xsinh⁡y+h′(x))\frac{\partial u}{\partial y} = \sin x \sinh y = -\frac{\partial v}{\partial x} = -(-\sin x \sinh y + h'(x))
sin⁡xsinh⁡y=sin⁡xsinh⁡y−h′(x)\sin x \sinh y = \sin x \sinh y - h'(x)
h′(x)=0h'(x) = 0
h(x)=C(C∈R)h(x) = C \quad (C\in\mathbb R)
v(x,y)=cos⁡xsinh⁡y+Cv(x, y) = \cos x \sinh y + C
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=sin⁡xcosh⁡y+i(cos⁡xsinh⁡y+C)=sin⁡xcosh⁡y+icos⁡xsinh⁡y+iCf(z) = u(x, y) + iv(x, y) = \sin x \cosh y + i(\cos x \sinh y + C) = \sin x \cosh y + i\cos x \sinh y + iC
f(z)=sin⁡(x+iy)+iC=sin⁡z+iCf(z) = \sin(x + iy) + iC = \sin z + iC

f(z)=sin⁡z+iCf(z) = \sin z + iC

(2) f(z)=0f(z) = 0 を解く。

sin⁡z+iC=0\sin z + iC = 0
sin⁡z=−iC\sin z = -iC

z=x+iyz=x+iy とおくと、

sin⁡z=sin⁡xcosh⁡y+icos⁡xsinh⁡y\sin z=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y

である。実部が 00 なので sin⁡x=0\sin x=0 、すなわち x=kπx=k\pi （ k∈Zk\in\mathbb Z ）である。虚部を比較すると

(−1)ksinh⁡y=−C(-1)^k\sinh y=-C

より

y=(−1)k+1arsinh⁡C.y=(-1)^{k+1}\operatorname{arsinh}C.

したがって、すべての解は

z=kπ+i(−1)k+1arsinh⁡C(k∈Z)\boxed{z=k\pi+i(-1)^{k+1}\operatorname{arsinh}C\qquad(k\in\mathbb Z)}

である。

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