九州大学 システム情報科学府 共通 2013年8月実施 复变函数

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

正則関数 $f(z)$ を考える。ただし $z$ は複素数, $i = \sqrt{-1}$ とする。次の各問に答えよ。

(1) $Re(f(z))$ は, $f(z)$ の実部である。 $Re(f(z)) = \sin x \cosh y$ で表されるとき, $f(z)$ を求めよ。ただし, $z = x + iy$ , $x$ と $y$ は実数である。

(2) 問(1) で求めた $f(z)$ について考える。方程式 $f(z) = 0$ を解け。

题目描述

设 $f(z)$ 为解析函数，$z=x+iy$，其中 $x,y$ 为实数且 $i=\sqrt{-1}$。回答下列问题：

1. 已知 $f(z)$ 的实部为

   $$\operatorname{Re}f(z)=\sin x\cosh y,$$

   求 $f(z)$。应保留由实部无法确定的纯虚常数。

2. 对第 1 问所得的一般形式的 $f(z)$，求方程

   $$f(z)=0$$

   的全部复数解；解集应体现上述实常数参数。

Kai

(1) $Re(f(z)) = u(x,y) = \sin x \cosh y$

Cauchy-Riemann の方程式より、

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \cos x \cosh y = \frac{\partial v}{\partial y}$$

$$v(x, y) = \int \cos x \cosh y dy = \cos x \sinh y + h(x)$$

$$\frac{\partial u}{\partial y} = \sin x \sinh y = -\frac{\partial v}{\partial x} = -(-\sin x \sinh y + h'(x))$$

$$\sin x \sinh y = \sin x \sinh y - h'(x)$$

$$h'(x) = 0$$

$$h(x) = C \quad (C\in\mathbb R)$$

$$v(x, y) = \cos x \sinh y + C$$

$$f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = \sin x \cosh y + i(\cos x \sinh y + C) = \sin x \cosh y + i\cos x \sinh y + iC$$

$$f(z) = \sin(x + iy) + iC = \sin z + iC$$

$f(z) = \sin z + iC$

(2) $f(z) = 0$ を解く。

$$\sin z + iC = 0$$

$$\sin z = -iC$$

$z=x+iy$ とおくと、

$$\sin z=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y$$

である。実部が $0$ なので $\sin x=0$ 、すなわち $x=k\pi$ （ $k\in\mathbb Z$ ）である。虚部を比較すると

$$(-1)^k\sinh y=-C$$

より

$$y=(-1)^{k+1}\operatorname{arsinh}C.$$

したがって、すべての解は

$$\boxed{z=k\pi+i(-1)^{k+1}\operatorname{arsinh}C\qquad(k\in\mathbb Z)}$$

である。