九州大学 システム情報科学府 共通 2013年8月実施 微分方程

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• Second-Order-Linear-Ordinary-Differential-Equation
• First-Order-Ordinary-Differential-Equation

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

次の微分方程式の一般解を求めよ.なお, $y'$ は関数 $y(x)$ の $x$ に関する1階導関数を表している。

(1) $3y' + \frac{y}{x} = \frac{x}{y^2}$

(2) $y'' = \sqrt{4 + (y')^2}$

题目描述

求下列微分方程的通解，其中 $y'$ 表示函数 $y(x)$ 关于 $x$ 的一阶导数，$y''$ 表示二阶导数：

$$3y'+\frac{y}{x}=\frac{x}{y^2}.$$

$$y''=\sqrt{4+(y')^2}.$$

Kai

(1) $3y' + \frac{y}{x} = \frac{x}{y^2}$ Let $u = y^3$ . Then $u' = 3y^2 y'$ , so $y' = \frac{u'}{3y^2}$ . Substituting into the equation, we have $3(\frac{u'}{3y^2}) + \frac{y}{x} = \frac{x}{y^2}$ $\frac{u'}{y^2} + \frac{y}{x} = \frac{x}{y^2}$ Multiplying by $y^2$ , we get $u' + \frac{y^3}{x} = x$ $u' + \frac{u}{x} = x$ This is a first-order linear ODE. Integrating factor is $\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ . Multiplying by $x$ , we get $xu' + u = x^2$ $\frac{d}{dx}(xu) = x^2$ Integrating both sides, we get $xu = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$ $u = \frac{x^2}{3} + \frac{C}{x}$ $y^3 = \frac{x^2}{3} + \frac{C}{x}$ $y = \sqrt[3]{\frac{x^2}{3} + \frac{C}{x}}$

(2) $y'' = \sqrt{4 + (y')^2}$ Let $v = y'$ . Then $v' = y''$ . So $v' = \sqrt{4 + v^2}$ . $\frac{dv}{dx} = \sqrt{4 + v^2}$ $\int \frac{dv}{\sqrt{4 + v^2}} = \int dx$ $\sinh^{-1}(\frac{v}{2}) = x + C_1$ $\frac{v}{2} = \sinh(x + C_1)$ $v = 2\sinh(x + C_1)$ $y' = 2\sinh(x + C_1)$ $y = \int 2\sinh(x + C_1) dx = 2\cosh(x + C_1) + C_2$