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九州大学 システム情報科学府 情報学専攻・情報知能工学専攻・電気電子工学専攻 共通 2012年度入学 数学 問4（複素関数論）

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思齐塾, 祭音Myyura

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次の各問に答えよ。

(1) f(z)=1z−1f(z) = \frac{1}{z-1} を z=0z=0 でテイラー展開せよ。

(2) g(z)=1z(z+1)g(z) = \frac{1}{z(z+1)} を z=−1z=-1 でローラン展開せよ。

题目描述​

回答下列问题，并为所得级数注明相应的收敛区域：

  1. 将

    f(z)=1z−1f(z)=\frac1{z-1}

    在 z=0z=0 处作泰勒展开。

  2. 将

    g(z)=1z(z+1)g(z)=\frac1{z(z+1)}

    在 z=−1z=-1 处作洛朗展开。以 z=−1z=-1 为中心存在由另一奇点 z=0z=0 分开的内、外两个收敛环域，应分别给出对应展开。

Kai​

(1) f(z)=1z−1=−11−z=−∑n=0∞znf(z) = \frac{1}{z-1} = \frac{-1}{1-z} = -\sum_{n=0}^{\infty} z^n , ∣z∣<1|z| < 1 .

(2) ζ=z+1\zeta=z+1 とおくと

g(z)=1z(z+1)=1(ζ−1)ζ.g(z)=\frac{1}{z(z+1)} =\frac{1}{(\zeta-1)\zeta}.

0<∣ζ∣<10<|\zeta|<1 では

g(z)=−1ζ11−ζ=−∑n=0∞ζn−1=−1z+1−1−(z+1)−(z+1)2−⋯ .g(z) =-\frac{1}{\zeta}\frac{1}{1-\zeta} =-\sum_{n=0}^{\infty}\zeta^{n-1} =-\frac{1}{z+1}-1-(z+1)-(z+1)^2-\cdots .

また、外側の環域 ∣ζ∣>1|\zeta|>1 では

g(z)=1ζ211−ζ−1=∑n=0∞ζ−n−2=1(z+1)2+1(z+1)3+⋯ .g(z) =\frac{1}{\zeta^2}\frac{1}{1-\zeta^{-1}} =\sum_{n=0}^{\infty}\zeta^{-n-2} =\frac{1}{(z+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^3}+\cdots .

したがって、中心 z=−1z=-1 に関する Laurent 展開は環域ごとに上の二通りである。

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