九州大学 システム情報科学府 情報学専攻・情報知能工学専攻・電気電子工学専攻 共通 2011年度入学 数学 問2（微分方程式）

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

関数 $y(x)$ の微分方程式

$$(x - 1) \frac{dy}{dx} - x (4x + 5) + 4 (2x + 1) y - 4y^2 = 0$$

について、以下の各問に答えよ.

(1) 1つの特殊解 $y_1$ を求めよ.

(2) 特殊解 $y_1$ と関数 $u(x)$ を用いて $y = y_1 + \frac{1}{u}$ とおき,一般解を求めよ.

题目描述

对未知函数 $y(x)$ 的微分方程

$$(x-1)\frac{dy}{dx}-x(4x+5)+4(2x+1)y-4y^2=0$$

回答下列问题：

1. 求该方程的一个特解 $y_1$。

2. 使用第 1 问所得特解 $y_1$ 和辅助函数 $u(x)$，作代换

   $$y=y_1+\frac1u,$$

   求原方程的通解。

Kai

(1) Particular Solution

$y_1=x+c$ とおいて元の方程式へ代入すると

$$-1+4c-4c^2=-(2c-1)^2=0.$$

したがって

$$\boxed{y_1=x+\frac12}$$

が一つの特殊解である。

(2) General Solution

元の方程式を Riccati 形に書くと

$$y'=\frac{4y^2-4(2x+1)y+x(4x+5)}{x-1}.$$

$y=y_1+1/u=x+\frac12+1/u$ とおく。一般に $y'=ay^2+by+c$ の既知解 $y_1$ に対して

$$u'+(2ay_1+b)u=-a$$

となる。ここでは

$$a=\frac4{x-1},\qquad b=-\frac{4(2x+1)}{x-1}$$

であり、

$$2ay_1+b =\frac{8(x+1/2)-4(2x+1)}{x-1}=0.$$

よって

$$u'=-\frac4{x-1}, \qquad u=C-4\log|x-1|.$$

したがって一般解は

$$\boxed{ y=x+\frac12+\frac{1}{C-4\log|x-1|} }$$

である。これは $x\ne1$ かつ分母が零でない各区間で成り立つ。また、最初に用いた特殊解 $y=x+1/2$ 自身も解である。