九州大学システム情報科学府共通 2010年8月実施微分方程

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思齐塾, 祭音Myyura

関数 $y(x)$ の微分方程式

(x - 1) \frac{dy}{dx} - x (4x + 5) + 4 (2x + 1) y - 4y^2 = 0

について、以下の各問に答えよ.

(1) 1つの特殊解 $y_1$ を求めよ.

(2) 特殊解 $y_1$ と関数 $u(x)$ を用いて $y = y_1 + \frac{1}{u}$ とおき,一般解を求めよ.

对未知函数 $y(x)$ 的微分方程

(x-1)\frac{dy}{dx}-x(4x+5)+4(2x+1)y-4y^2=0

回答下列问题：

$y_1=x+c$ とおいて元の方程式へ代入すると

-1+4c-4c^2=-(2c-1)^2=0.

したがって

\boxed{y_1=x+\frac12}

が一つの特殊解である。

元の方程式を Riccati 形に書くと

y'=\frac{4y^2-4(2x+1)y+x(4x+5)}{x-1}.

$y=y_1+1/u=x+\frac12+1/u$ とおく。一般に $y'=ay^2+by+c$ の既知解 $y_1$ に対して

u'+(2ay_1+b)u=-a

となる。ここでは

a=\frac4{x-1},\qquad b=-\frac{4(2x+1)}{x-1}

であり、

2ay_1+b =\frac{8(x+1/2)-4(2x+1)}{x-1}=0.

よって

u'=-\frac4{x-1}, \qquad u=C-4\log|x-1|.

したがって一般解は

\boxed{ y=x+\frac12+\frac{1}{C-4\log|x-1|} }

である。これは $x\ne1$ かつ分母が零でない各区間で成り立つ。また、最初に用いた特殊解 $y=x+1/2$ 自身も解である。