九州大学 システム情報科学府 共通 2009年8月実施 微分方程

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

2つの関数 $x(t)$ , $y(t)$ について、次の連立微分方程式を解け.

$$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = 2x - y \\ \frac{dy}{dt} = -x + 2y + 2e^t \end{cases}$$

题目描述

设 $x(t)$、$y(t)$ 为关于 $t$ 的函数，求下列非齐次线性常微分方程组的通解：

$$\begin{cases} \dfrac{dx}{dt}=2x-y,\\[2mm] \dfrac{dy}{dt}=-x+2y+2e^t. \end{cases}$$

Kai

首先，我们将方程组写成矩阵形式：

$$\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2e^t \end{pmatrix}$$

设 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ 。求矩阵 $A$ 的特征值和特征向量。

$$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 \\ -1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$$

因此，特征值为 $\lambda_1 = 1$ 和 $\lambda_2 = 3$ 。

对于 $\lambda_1 = 1$ ，求解 $(A - I)v_1 = 0$ ：

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

得到 $v_{11} = v_{12}$ ，所以特征向量 $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 。

对于 $\lambda_2 = 3$ ，求解 $(A - 3I)v_2 = 0$ ：

$$\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

得到 $v_{21} = -v_{22}$ ，所以特征向量 $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ 。

齐次方程的通解为：

$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}_h = c_1 e^t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{3t} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

现在求非齐次方程的特解。令

$$p=x+y,\qquad q=x-y.$$

原方程组化为

$$\begin{cases} p'=p+2e^t,\\ q'=3q-2e^t. \end{cases}$$

第一式的外力 $e^t$ 与齐次模态共振，因此

$$p=C_1e^t+2te^t,\qquad q=C_2e^{3t}+e^t.$$

$x=(p+q)/2,\ y=(p-q)/2$ に戻し、任意定数を取り直すと

$$\boxed{ \begin{aligned} x(t)&=c_1e^t+c_2e^{3t}+te^t+\frac12e^t,\\ y(t)&=c_1e^t-c_2e^{3t}+te^t-\frac12e^t. \end{aligned}}$$