九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2020年8月実施 電気回路

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Zero

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【問 1】

図 $1$ に示す回路において，$C = \sqrt{3}\text{F},L = \frac{\sqrt{3}}{6}\text{H}$, 電源の角周波数 $\omega = 2\text{rad/s}$, 端子間電圧 $V$ と電流 $I$ の位相差は $\arg(\frac{V}{I}) = -\frac{\pi}{6}\text{rad}$ であり，回路は定常状態にあるとする．以下の問いに答えよ.

(1) $R$ の値を求めよ．

(2) 電流 $I$ の時間関数が $i(t) = \sin(2t + \frac{\pi}{6})\text{A}$ であり，これに対応するフェーザ電流を $I = e^{j\frac{\pi}{6}}\text{A}$ と表すとき，フェーザ電圧 $V$ を求め，その時間関数 $v(t)$ を答えよ．

【問 2】

図 $2$ の回路について，以下の問いに答えよ．ただし，図 $2(a)$ と図 $2(b)$ は等価である．

(1) 図 $2(b)$ のインピーダンス $Z_1，Z_2，Z_3$ を求めよ．

(2) 図 $2(b)$ において，端子対 $1-1'$ から右側を見たときのインピーダンス $Z_R$ および左側を見たときのインピーダンス $Z_L$ を記号 $Z_0,Z_1,Z_2,Z_3$ を用いずに表せ．ただし，インピーダンス $Z_0 = R + jX$ である．

(3) 図 $2(b)$ の $Z_0$ において，$R$ も $X$ も可変であるとき，$Z_0$ における消費電力を最大とする $R$ および $X$ を求めよ．

【問 3】

図 $3$ の回路について，以下の問いに答えよ．ただし，電源の角周波数を $\omega$ とする．

(1) 図 $3(b)$ が図 $3(a)$ の端子対 $1-1’$ の左側の $2$ 端子回路と等価なとき，電流源 $J_0$ とアドミタンス $Y_0$ を求めよ．

(2) 図 $3(a)$ の電流 $I$ を求めよ．

【問 4】

図 $4$ の回路について，以下の問いに答えよ．ただし，$e(t) = 50 \sin t \text{V}$ とし，スイッチ $S$ を閉じる前の回路は定常状態にあるとする．

(1) $t = 0$ でスイッチ $S$ を閉じた直後の電流 $i(+0)$ を求めよ．

(2) $t > 0$ における電流 $i(t)$ を求めよ．

Kai

【問 1】

(1)

$$\begin{align} Z_{\text{全}} &= R + \frac{1}{j\omega C} // j\omega L \notag\\ &= R + \frac{\frac{1}{j\omega C} \cdot j\omega L}{\frac{1}{j\omega C} + j\omega L} \notag\\ &= R + \frac{j\omega L}{1 - \omega^2CL} \notag\\ &= R + \frac{j \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}}{1 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}} \notag\\ &= R + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}j}{1 - 2} \notag\\ &= R - \frac{\sqrt{3}}{3}j \tag{\textcircled{1}} \end{align}$$

$$\frac{V}{I} = Z_{\text{全}}$$

$$\begin{align} Z_{\text{全}} &= Ae^{-\frac{\pi}{6}}(A > 0) \notag \\ &= A(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}j) \tag{\textcircled{2}} \end{align}$$

①、② の実部と虚部を比較

$$\left \{ \begin{align} R &= \frac{\sqrt{3}}{2}A \quad \tag{\textcircled{3}} \\ -\frac{\sqrt{3}}{3} &= -\frac{A}{2} \tag{\textcircled{4}} \end{align} \right.$$

④ より、

$$\begin{aligned} 2\sqrt{3} &= 3A \\ A &= \frac{2\sqrt{3}}{3} \\ R &= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2\sqrt{3}}{3} = 1 \end{aligned}$$

(2)

$$i(t) = \sin(2t + \frac{\pi}{6}),I = e^{j\frac{\pi}{6}}$$

(1) より、

$$Z_{\text{全}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}j)$$

$$Z_{\text{全}} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}j = \frac{2}{\sqrt{3}}e^{-j\frac{\pi}{6}}$$

$$\begin{aligned} V &= I \times Z_{\text{全}} \\ &= e^{j\frac{\pi}{6}} \times \frac{2}{\sqrt{3}}e^{-j\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{3}} \end{aligned}$$

$$v(t) = \frac{2}{\sqrt{3}}\sin2t$$

【問 2】

(1)

$\Delta \rightarrow Y$ 変換より、

$$\begin{aligned} Z_1 &= \frac{2j}{4 + j} \\ &= \frac{2j(4 - j)}{17} \\ &= \frac{2 + 8j}{17} \\ &= \frac{2(1 + 4j)}{17} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} Z_2 &= \frac{2j}{4 + j} \\ &= \frac{2(1 + 4j)}{17} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} Z_3 &= \frac{4}{4 + j} \\ &= \frac{4(4 - j)}{17} \\ &= \frac{16 - 4j}{17} \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} Z_R &= Z_0 + Z_2 \\ &= R + jX + \frac{2(1 + 4j)}{17} \\ &= \frac{17R + 2 + j(8 + X)}{17} \\ \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} Z_L &= Z_1 + Z_3 - j \\ &= \frac{2}{4 + j} + \frac{4}{4 + j} - j \\ &= \frac{18 - 3j}{17} \end{aligned}$$

(3)

$Z_L$ を電源側、$Z_R$ を負荷側におく、$Z_R$ の消費電力が最大になるには

$Z_L = \overline{Z_R}$ となればよい

$Z_L = \frac{18 - 3j}{17}$

$\overline{Z_R} = \frac{17R + 2 - j(8 + X)}{17}$

実部と虚部を比較して

$$\left \{ \begin{aligned} &17R + 2 = 18 \\ &8 + X = 3 \end{aligned} \right.$$

$$\left \{ \begin{aligned} &R = \frac{16}{17} \\ &X = -5 \end{aligned} \right.$$

【問 3】

(1)

$1 - 1'$ の左の電圧源を短絡、電流源を開放する

$$\begin{aligned} Z_0 &= R + R//j\omega L \\ &= \frac{2R \cdot j\omega L}{2R + j\omega L} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \frac{1}{Z_0} = Y_0 &= \frac{2R + j\omega L}{j2R\omega L} \\ &= \frac{-j2R\omega L(2R + j\omega L)}{j2R\omega L \times (-j2R\omega L)} \\ &= \frac{2R\omega^2L^2 - j4R^2\omega L}{4R^2\omega^2L^2} \\ &= \frac{2R\omega L(\omega L - j2R)}{4R^2\omega^2L^2} \\ &= \frac{\omega L - j2R}{2R\omega L} \end{aligned}$$

(i)

J のみ残したとき

$I_J = \frac{R}{R + R}J = \frac{1}{2}J$

(ii)

$E$ を残したとき

$I_E = \frac{E}{2R}$

(iii)

$E'$ を残したとき

$I_E = -\frac{E}{2R}$

$J_0 = \frac{1}{2}J + \frac{E}{2R} - \frac{E}{2R} = \frac{1}{2}J$

(2)

(1) より $1-1'$ 間の電圧は、

$$\begin{aligned} V &= \frac{J_0}{Y_0 + \frac{1}{R}} \\ &= \frac{\frac{1}{2}J}{\frac{\omega L - j2R}{2R\omega L} + \frac{1}{R}} \\ &= \frac{R\omega LJ}{\omega L - j2R + 2\omega L} \\ &= \frac{R\omega LJ}{3\omega L - j2R} \end{aligned}$$

$I = \frac{V}{R}$ より、

$$I = \frac{\omega L}{3\omega L - j2R}J$$

【問 4】

(1)

$e(t) = i(t) + L\frac{di(t)}{dt}$

定常状態なので、$\frac{Ldi(t)}{dt} = 0$

$e(t) = i(t)$

$50\sin t = i(t)$

$i(+0) = 0$

(2)

$$\frac{di(t)}{dt} = 3i'(t)$$

$$\begin{aligned} e(t) &= i(t) + i'(t) + 3i'(t) \\ e(t) &= i(t) + 4i'(t) \\ e(t) &= i(t) + 4 \cdot \frac{1}{3}\frac{di(t)}{dt} \\ e(t) &= i(t) + \frac{4}{3}\frac{di(t)}{dt} \\ \frac{3}{4}e(t) &= \frac{di(t)}{dt} + \frac{3}{4}i(t) \\ \frac{75}{2}\sin t &= \frac{di(t)}{dt} + \frac{3}{4}i(t) \\ \end{aligned}$$

$i(t) = i_s(t) + i_f(t)$

$i_s(t)$ は $i_s(t) = A\sin t + B\cos t$ とおくと

$\frac{di_s(t)}{dt} = A\cos t - B\sin t$

$$\begin{aligned} \frac{75}{2}\sin t &= A\cos t - B\sin t + \frac{3}{4}(A\sin t + B\cos t) \\ \frac{75}{2}\sin t &= (\frac{3}{4}A - B)\sin t + (A + \frac{3}{4}B)\cos t \end{aligned}$$

$$\left \{ \begin{aligned} &\frac{75}{2} = \frac{3}{4}A - B \\ &0 = A + \frac{3}{4}B \\ \end{aligned} \right. \Rightarrow \left \{ \begin{aligned} &A = 18 \\ &B = -24 \end{aligned} \right.$$

$i_s(t) = 18\sin t - 24\cos t$

次に $i_s(t)$ を求める

特性方程式より、

$0 = \lambda + \frac{3}{4} \Rightarrow \lambda = -\frac{3}{4}$

$i(t) = 18\sin t - 24\cos t + Ce^{-\frac{3}{4}t}$

(1) より $i(0) = 0$ より、

$0 = -24 + C \Rightarrow C = 24$

$i(t) = 18\sin t -24\cos t + 24e^{-\frac{3}{4}t}(t > 0)$