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九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻 2020年8月実施 アルゴリズム・プログラミング

Author​

祭音Myyura

Description​

【問 1】​

2つの数の加算，乗算および大小比較は各々単位時間で行えるものとする．以下の各問いに答えよ．

(1) 与えられた 行列 と 行列 に対し，アルゴリズム 1 はそれらの積 を求める．アルゴリズム 1 の時間計算量を答えよ．

(2) 行列 と 行列 と 行列 と 行列 が与えられたとき，積 をアルゴリズム1をサブルーチンとして用いて求めたい．

  • (a) 数式 で表される積の順に従う場合，行列 の計算における加算と乗算の回数の合計を答えよ．
  • (b) の計算にかかる時間が最小となる積の順を，問 (a) に倣った数式で記述せよ．また，その積の順に従う の計算における加算と乗算の回数の合計を答えよ．

(3) は 行列とし，積 をアルゴリズム 1 を用いて求めたい．積 の計算について，すべての積の順の中で最小の時間計算量をアルゴリズム 2 が与えることを証明せよ．またアルゴリズム 2 の時間計算量を答えよ．

【問 2】​

図 1 は Python 言語で書かれたマージソートのプログラムである．図 1 の 32 行目で下記の入力が与えられている．次の問いに答えよ．

32: list_input = [8, 3, 6, 5, 2, 7, 4, 1]

(1) merge_sort は，リスト result の要素を start から end の範囲で昇順に並び替える関数である．空欄(A)-(G)を埋め，関数merge sortを完成せよ．

(2) sort は，リスト list_input の要素を昇順に並び替える関数である．関数 sort が呼び出されて完了するまでに，関数 merge が呼び出される回数を答えよ．また，関数 merge に与えられる実引数のリスト copy と result の要素を関数 merge の呼び出しごとに答えよ．

(3) 8 行目から 11 行目の文を削除した場合を想定する．関数 sort が呼び出された時，リスト list_input の要素は，昇順に並び替えられているか否かを答えよ．また，関数 sort が実行完了するまでに，関数 merge_sort が呼び出される回数を答えよ．

(4) 関数 sort を，リスト list_input を降順に並び替えるように変更したい．行番号を示しながら，変更すべき式と，その内容を記せ．

def sort(list_input):
    copy = list(list_input)
    merge_sort(copy, list_input, 0, len(list_input)-1)

def merge_sort(copy, result, start, end):
    if end - start < 1:
        return
    if end - start == 1:
        if result[start] > result[end]:
            result[start], result[end] = result[end], result[start]
        return
    
    mid = int((end + start) / 2)
    merge_sort(result, copy, (A), (B))
    merge_sort(result, copy, (C), (D))
    merge(copy, result, (E), (F), (G))

def merge(copy, result, start, end, mid):
    i = start
    j = mid
    idx = start

    while idx <= end:
        if j > end or (i < mid and copy[i] < copy[j]):
            result[idx] = copy[i]
            i += 1
        else:
            result[idx] = copy[j]
            j += 1
        idx += 1

list_input=[8, 3, 6, 5, 2, 7, 4, 1]
sort(list_input)
print(list_input)

図1 (Figure 1)​

Kai​

【問 1】​

(1)​

(2)​

(a)​

(b)​

(3)​

Statement A: Suppose that an optimal parenthesization (order of multipications) of splits the product between and . Then the parenthesization of the "left" subchain within this optimal parenthesization of is also an optimal parenthesization of .

Statement A can be proved by contradicition. Assume that there exits a less costly way to parenthesize , then, substituting that parenthesization in the optimal parenthesization of would produce another parenthesization of of a lower cost than the optimum, which is a contradiction.

Similar for the "right" subchain, it is also an optimal parenthesization of .

Therefore, let be the minimum number of multiplications needed to compute the matrix . By statement A, we assume that an optimal parenthesization splits the product between and . Then, is equal to the minimum cost for computing the subproducts and plus the cost of multiplying these two matrices, i.e.,

Since there are only possible values for , namely . Hence we have

Thus the correctness of algorithm 2 is proved.

The time complexity of algorithm 2 is .

【問 2】​

(1)​

  • (A): start
  • (B): mid - 1
  • (C): mid
  • (D): end
  • (E): start
  • (F): end
  • (G): mid

(2)​

4 time

1: copy [8, 3, 6, 5, 2, 7, 4, 1], result [8, 3, 6, 5, 2, 7, 4, 1]

2: copy [3, 6, 8, 5, 2, 7, 1, 4], result [8, 3, 6, 2, 5, 7, 4, 1]

3: copy [8, 3, 6, 2, 5, 1, 4, 7], result [3, 6, 8, 5, 2, 7, 1, 4]

4: copy [3, 6, 8, 1, 2, 4, 5, 7], result [8, 3, 6, 2, 5, 1, 4, 7]

(3)​

(Confused, since the program may never stop running when start=1 and end=2.)

(4)​

  • line 9: if result[start] < result[end]:
  • line 24: if j > end or (i < mid and copy[i] > copy[j]):
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