九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2018年8月実施 電気回路

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Zero

Description

【問 1】

図 $1$ の回路について, 以下の問いに答えよ。ただし, 電源電圧 $E$ と電流 $I_2$ の位相差は $\arg(E/I_2) = 0$ である。

(1) $R_1,R_2,X_1,X_2$ の問の関係式を示せ。

(2) $|I_1| = 2\text{A},|I_2| = 1\text{A},|V| = 4\text{V},|E| = 8\text{V}$ のとき, $R_1,R_2.X_1,X_2$ の各値を求めよ。

【問 2】

図 $2$ の回路について, 以下の問いに答えよ。ただし, 電源電圧 $E$ 角周波数を $\omega$ とする。

(1) 抵抗 $R_L$ の電流 $I$ と消費電力 $P$ を求めよ。

(2) リアクタンス $X$ が可変であるとき, 消費電力 $P$ が最大となるような $X$ を求めよ。

【問 3】

図 $3$ の回路について, 以下の問いに答えよ。ただし, 電源電圧 $E$ 角周波数を $\omega$ とする。

(1) 抵抗 $r$ の電流 $I$ を求めよ。

(2) $z_0 = R,z_1 = jX_1,z_2 = -jX_2$ のとき, $E$ と $I$ の位相差が $\arg(E/I_2) = 0$ となる条件を求めよ。

【問 4】

図 $4$ の回路について, 以下の問いに答えよ。ただし, $E = \sqrt{3}/2\text{V},R_1 = R_2 = 2\Omega,C = 4\text{F},L = 1 \text{H}$ とする。

(1) スイッチ $S_2$ を開いたまま, 時刻 $t = 0$ においてスイッチ $S_1$ を閉じる.このとき, $t > 0$ における電荷 $q(t)$ を求めよ.ただし, $q(0) = \frac{1}{2}CE$ とする。

(2) $S_2$ を開いたまま $S_1$ を閉じて回路が定常状態に達した後, $t = 0$ において $S_1$ を開くと同時に $S_2$ を閉じる. このとき, $t > 0$ における電流 $i(t)$ を求めよ.

(3) (2) で求めた $i(t)$ のきさが最大となる時刻 $t$ を求めよ.

题目描述

【问题 1】对图 1 电路，电源电压 $E$ 与电流 $I_2$ 同相，即 $\arg(E/I_2)=0$。回答：

1. 写出 $R_1,R_2,X_1,X_2$ 之间的关系式。
2. 当 $|I_1|=2\,\mathrm A$、$|I_2|=1\,\mathrm A$、 $|V|=4\,\mathrm V$、$|E|=8\,\mathrm V$ 时，求 $R_1,R_2,X_1,X_2$。

【问题 2】对图 2 电路，电源电压 $E$ 的角频率为 $\omega$。回答：

1. 求负载电阻 $R_L$ 中的电流 $I$ 与消耗功率 $P$。
2. 电抗 $X$ 可调时，求使 $P$ 最大的 $X$。

【问题 3】对图 3 电路，电源电压 $E$ 的角频率为 $\omega$。回答：

1. 求电阻 $r$ 中的电流 $I$。
2. 当 $z_0=R$、$z_1=jX_1$、$z_2=-jX_2$ 时，求使题面所给相位条件 $\arg(E/I_2)=0$ 成立的条件。

【问题 4】对图 4 开关电路，已知

$$E=\frac{\sqrt3}{2}\,\mathrm V,\quad R_1=R_2=2\,\Omega,\quad C=4\,\mathrm F,\quad L=1\,\mathrm H.$$

1. 保持 $S_2$ 断开，在 $t=0$ 闭合 $S_1$；已知 $q(0)=\frac12CE$，求 $t>0$ 的电荷 $q(t)$。
2. 保持 $S_2$ 断开并闭合 $S_1$，待电路达到稳态后，在 $t=0$ 同时断开 $S_1$、闭合 $S_2$；求 $t>0$ 的电流 $i(t)$。
3. 求 (2) 中 $|i(t)|$ 达到最大值的时刻 $t$。

考点

• 相量与阻抗分析：由同相条件和电压、电流幅值约束联立求电阻与电抗，并分析复阻抗网络。
• 交流最大功率传输：推导负载功率并选择可调电抗以补偿等效电抗、达到功率极值。
• 复阻抗网络相位条件：对一般阻抗网络求支路电流，再代入纯阻、感抗和容抗形式判断输入相位。
• 二阶开关电路暂态：利用电容电压、电感电流连续性建立电阻—电感—电容响应，并对阻尼振荡电流求幅值极值时刻。

Kai

【問 1】

電源電圧 $E$ と電流 $I_2$ の位相差は $\arg(\frac{E}{I_2}) = 0$ である。

(1)

$R_1,R_2,X_1,X_2$ の問の関係式を示せ

回路より、

$$\begin{align} &R_2I_2 = jX_2(I_1 - I_2) \tag{\textcircled{1}} \\ &(R_2 + jX_2)I_2 = jX_2I_1 \tag{\textcircled{1}'} \\ &E = \{R_1 + jX_1 + (R_2 // jX_2)\}I_1 \tag{\textcircled{2}} \\ &E = (R_1 + jX_1 + \frac{jR_2X_2}{R_2 + jX_2})I_1 \tag{\textcircled{2}'} \end{align}$$

①' $\rightarrow$ ②' に代入

$$\begin{aligned} E &= (R_1 + jX_1 + \frac{jR_2X_2}{R_2 + jX_2}) \times \frac{R_2 + jX_2}{jX_2}I_2 \\ \frac{E}{I_2} &= \frac{(R_1 + jX_1)(R_2 + jX_2)}{jX_2} + \frac{jX_2R_2}{jX_2} \\ \frac{E}{I_2} &= \frac{R_1R_2 - X_1X_2 + j(R_1X_2 + X_1R_2 + X_2R_2)}{jX_2} \\ \frac{E}{I_2} &= \frac{R_1X_2 + X_1R_2 + X_2R_2 + j(X_1X_2 - R_1R_2)}{X_2} \end{aligned}$$

$\arg(\frac{E}{I_2}) = 0$ より、$\frac{E}{I_2}$ は虚部は $0$ なので、

$$\begin{align} &X_1X_2 - R_1R_2 = 0 \notag\\ &X_1X_2 = R_1R_2 \tag{*} \end{align}$$

(2)

(1) より、

$$\begin{aligned} \frac{E}{I_2} &= \frac{R_1X_2 + X_1R_2 + X_2R_2}{X_2} \\ &= R_1 + R_2 + \frac{X_1R_2}{X_2} \\ \bigg|\frac{E}{I_2}\bigg| &= R_1 + R_2 + \frac{X_1R_2}{X_2} = 8 \end{aligned}$$

$$\begin{align} R_1 + R_2 + \frac{X_1R_2}{X_2} = 8 \tag{\textcircled{1}} \end{align}$$

$$\begin{aligned} I_1 &= \frac{R_2 + jX_2}{jX_2}I_2 \\ \bigg|\frac{I_1}{I_2}\bigg| &= \frac{\sqrt{R_2^2 + X_2^2}}{X_2} \\ 2 &= \frac{\sqrt{R_2^2 + X_2^2}}{X_2} \\ 2X_2 &= \sqrt{R_2^2 + X_2^2} \\ R_2^2 &+ X_2^2 = 4X_2^2 \\ R_2^2 &= 3X_2^2 \\ \end{aligned}$$

$X_2 > 0$ より、

$$\begin{align} R_2 = \sqrt{3}X_2 \tag{\textcircled{2}} \end{align}$$

回路より、

$$\begin{align} \text{V} &= (R_1 + jX_1)I_1 \notag \\ \frac{\text{V}}{I_1} &= R_1 + jX_1 \notag \\ \bigg|\frac{\text{V}}{I_1}\bigg| &= \sqrt{R_1^2 + X_1^2} \notag \\ 2 &= \sqrt{R_1^2 + X_1^2} \notag \\ 4 &= R_1^2 + X_1^2 \tag{\textcircled{3}} \end{align}$$

② を (1) の ($*$) に代入すると、

$$X_1X_2 = R_1 \times \sqrt{3}X_2$$

$X_2 > 0$ より、

$$X_1 = \sqrt{3}R_1$$

これを ③ に代入すると、

$$\begin{aligned} 4 &= R_1^2 + 3R_1^2 \\ 4R_1^2 &= 4 \\ R_1^2 &= 1 \end{aligned}$$

$R_1 > 0$ より、

$$\begin{align} R_1 = 1 \tag{\textcircled{4}} \\ \textcircled{3}\text{より、 }X_1 = \sqrt{3} \tag{\textcircled{5}} \end{align}$$

④、⑤ を ① に代入すると、

$$\begin{aligned} &1 + R_2 + \frac{\sqrt{3}R_2}{X_2} = 8 \\ &R_2 + \frac{\sqrt{3}R_2}{X_2} = 7 \\ &\sqrt{3}X_2 + \frac{3X_2}{X_2} = 7 \\ &\sqrt{3}X_2 = 4 \\ &X_2 = \frac{4}{\sqrt{3}} \end{aligned}$$

よって、

$$\begin{aligned} R_1 &= 1[\Omega] \\ R_2 &= 4[\Omega] \\ X_1 &= \sqrt{3}[\Omega] \\ X_2 &= \frac{4}{\sqrt{3}}[\Omega] \end{aligned}$$

【問 2】

(1)

図のように、$I_1,V_1,I_2,V_2$ を定義する。

$$\begin{align} V_1 = j\omega L_1I_1 + j\omega MI_2 \tag{\textcircled{1}} \\ V_2 = j\omega L_2I_2 + j\omega MI_1 \tag{\textcircled{2}} \\ E = R_1I_1 + V_1 \tag{\textcircled{3}} \end{align}$$

① $\rightarrow$ ③ に代入すると、

$$\begin{align} E = R_1I_1 + j\omega L_1I_1 + j\omega MI_2 \notag \\ E = (R_1 + j\omega L_1)I_1 + j\omega MI_2 \tag{\textcircled{4}} \\ V_2 = -I_2(jX + R_L) \tag{\textcircled{5}} \end{align}$$

⑤ $\rightarrow$ ② に代入

$$\begin{align} -jXI_2 - R_LI_2 = j\omega L_2I_2 + j\omega MI_1 \notag \\ j\omega MI_1 + (R_L + jX + j\omega L_2)I_2 = 0 \tag{\textcircled{6}} \end{align}$$

④、⑥より、

$$\begin{pmatrix} R_1 + j\omega L_1 & j\omega M \\ j\omega M & R_L + jX + j\omega L_2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E \\ 0 \end{pmatrix}$$

クラメルの公式より、

$$I_2 = \frac{1}{\det|A|} \begin{vmatrix} R_1 + j\omega L_1 & E \\ j\omega M & 0 \end{vmatrix}$$

$$I_2 = \frac{1}{\det|A|}(-j\omega ME)$$

$$\begin{aligned} \det(A) &= \begin{vmatrix} R_1 + j\omega L_1 & j\omega M \\ j \omega M & R_L + j(X + \omega L_2) \\ \end{vmatrix} \\ &= (R_1 + j\omega L_1)(R_L + j(X + \omega L_2)) - \omega^2 M^2 \end{aligned}$$

$I = -I_2$ より、

$$I = \frac{j \omega ME}{R_1R_L - \omega XL_1 - \omega^2L_1L_2 - \omega^2M^2 + j(XR_1 + \omega L_2R_1 + \omega L_1R_L)}$$

$P = |I|^2R_L$ より、

$$P = \frac{\omega^2 M^2R_L}{(R_1R_L-\omega XL_1-\omega^2L_1L_2 - \omega^2M^2)^2 + (XR_1 + \omega L_2R_1 + \omega L_1R_1)^2}|E|^2$$

(2)

(1) で求めた $P$ の分母が最小になればよい。

$$P = \frac{\omega^2 M^2R_L}{\{\omega(R_1L_2 + R_LL_1) + R_1X\}^2 + \{R_1R_L + \omega^2(M^2 - L_1L_2) - \omega L_1X\}^2}|E|^2$$

$$f(X) = \{\omega(R_1L_2 + R_LL_1) + R_1X\}^2 + \{R_1R_2 + \omega^2(M^2 - L_1L_2) - \omega L_1X\}^2$$

$$\frac{\partial f(X)}{\partial X} = 2\{\omega(R_1L_2 + R_LL_1) + R_1X\} \cdot R_1 + 2\{R_1R_2 + \omega^2(M^2 - L_1L_2) - \omega L_1X\} \cdot (-\omega L_1)$$

$\frac{\partial f(X)}{\partial X} = 0$ になる $X$ を求める。

$$\begin{aligned} \{\omega(R_1L_2 + R_LL_1) + R_1X\}R_1 &= \omega L_1\{R_1R_L + \omega^2(M^2 - L_1L_2) - \omega L_1X\} \\ \omega R_1(R_1L_2 + R_LL_1) + R_1^2X &= R_1R_L\omega L_1 + \omega^3 L_1(M^2 - L_1L_2) - \omega^2 L_1^2X \\ (R_1^2 + \omega^2L_1^2)X &= \omega^3L_1M^2 - \omega^3L_1^2L_2 - \omega R_L^2L_2 \\ (R_1^2 + \omega^2L_1^2)X &= \omega^3L_1M^2 - \omega L_2(\omega^2L_1^2 + R_1^2) \\ X &= \frac{\omega^3L_1M^2}{R_1^2 + \omega^2 L_1^2} - \omega L_2 \\ &= \omega\bigg\{\frac{\omega^2L_1M^2}{R_1^2 + \omega^2L_1^2} - L_2\bigg\} \end{aligned}$$

【問 3】

(1)

図のように節点番号と電流を $I_0 \sim I_5$ と定義文字が7つあるので、7つの方程式を立てる

$$\begin{align} &I_0 + I_1 = I_3 + I_5 \tag{\textcircled{1}} \\ &I_1 = I + I_2 \tag{\textcircled{2}} \\ &I_2 = I_3 + I_4 \tag{\textcircled{3}} \\ &I_5 = I_4 + I \tag{\textcircled{4}} \\ &E = Z_0(I_0 + I_3) \tag{\textcircled{5}} \\ &rI = Z_1I_2 + Z_2I_4 \tag{\textcircled{6}} \\ &E = Z_1I_1 + rI + Z_2I_5 \tag{\textcircled{7}} \\ \end{align}$$

② を用いて、$I_1$ を消去

① より、

$$\begin{align} I_0 + I + I_2 = I_3 + I_5 \tag{\textcircled{1}'} \end{align}$$

⑦ より、

$$\begin{align} E &= Z_1(I_1 + I_2) + rI + Z_2I_5 \notag \\ E &= (Z_1 + r)I + Z_1I_2 + Z_2I_5 \tag{\textcircled{7}'} \end{align}$$

③ を用いて、$I_2$ を消去

①' に代入すると、

$$\begin{align} I_0 + I + I_3 + I_4 &= I_3 + I_5 \notag \\ I_0 + I + I_4 &= I_5 \tag{\textcircled{8}} \end{align}$$

⑥ に代入

$$\begin{align} rI &= Z_1(I_3 + I_4) + Z_2I_4 \notag \\ r_I &= Z_1I_3 + (Z_1 + Z_2)I_4 \tag{\textcircled{6}'} \end{align}$$

⑦' に代入

$$\begin{align} E = (Z_1 + r)I + Z_1(I_3 + I_4) + Z_2I_5 \tag{\textcircled{7}''} \end{align}$$

④ を用いて、$I_3$ を消去

⑧ に代入

$$\begin{align} I_0 + I + I_4 = I_4 + I \Leftrightarrow I_0 = 0 \tag{\textcircled{9}} \end{align}$$

⑦'' に代入

$$\begin{align} E &= (Z_1 + r)I + Z_1(I_3 + I_4) + Z_2(I_4 + I) \notag \\ E &= (Z_1 + Z_2 + r)I + Z_1I_3 + (Z_1 + Z_2)I_4 \tag{\textcircled{7}'''} \end{align}$$

⑨ を用いて、$I_0$ を消去

⑤ より、

$$\begin{align} E = Z_0I_3 \notag \\ \therefore \ I_3 = \frac{E}{Z_0} \tag{\textcircled{10}} \end{align}$$

⑩ を用いて、$I_3$ を消去

⑥' より、

$$rI = Z_1 \cdot \frac{E}{Z_0} + (Z_1 + Z_2)I_4 \tag{\textcircled{6}''}$$

⑦'' より、

$$\begin{align} E = (Z_1 + Z_2 + r)I + \frac{Z_1}{Z_0}E + (Z_1 + Z_2)I_4 \notag \\ \frac{Z_0 - Z_1}{Z_0}E - (Z_1 + Z_2 + r)I = (Z_1 + Z_2)I_4 \tag{\textcircled{11}} \end{align}$$

⑪ を ⑥'' に代入 $(Z_1 + Z_2)I_4$ を消去

$$\begin{aligned} rI &= \frac{Z_1}{Z_0}E + E - \frac{Z_1}{Z_0}E - (Z_1 + Z_2 + r)I \\ rI &= E - (Z_1 + Z_2 + r)I \\ &\therefore I = \frac{E}{Z_1 + Z_2 + 2r} \end{aligned}$$

(2)

(1) の結果から、

$$I = \frac{E}{Z_1 + Z_2 + 2r}$$

$$Z_1 + Z_2 + 2r = \frac{E}{I} \Leftrightarrow \arg(\frac{E}{2}) = \arg(Z_1 + Z_2 + 2r)$$

両辺の $\arg$ をとる

$$\arg(Z_1 + Z_2 + 2r) = 0 \Leftrightarrow \arg(jX_1 - jX_2 + 2r) = 0$$

虚部が $0$ であればよい。

$$\begin{aligned} X_1 - X_2 & = 0 \\ X_1 &= X_2 \end{aligned}$$

【問 4】

(1)

$t > 0$ における $q(t)$

$$\begin{align} E &= R_1i(t) + \frac{q(t)}{C} \tag{\textcircled{1}}\\ i(t) &= \frac{dq(t)}{dt} \tag{\textcircled{2}} \end{align}$$

①、② より、

$$\begin{aligned} E &= R_1\frac{dq(t)}{dt} + \frac{q(t)}{C} \\ \frac{E}{R_1} &= \frac{dq(t)}{dt} + \frac{1}{CR_1}q(t) \\ q(t) &= q_s(t) + q_f(t) \\ q_s(t) &= CE \\ q_f(t) &= Ae^{-\frac{t}{CR_1}} \\ q(t) &= CE + Ae^{-\frac{t}{CR_1}} \\ \end{aligned}$$

$q(0) = \frac{1}{2}CE$ より、

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}CE &= CE + A \\ A &= -\frac{1}{2}CE \\ q(T) &= CE - \frac{1}{2}CE e^{-\frac{t}{CR_1}} \\ &= CE (1 - \frac{1}{2}CE e^{-\frac{t}{CR_1}}) \end{aligned}$$

変数を全て、代入するて。

$$q(t) = 2\sqrt{3}(1 - \frac{1}{2}e^{-\frac{t}{8}})\ (t > 0)$$

(2)

$q(-0) = 2\sqrt{3},i(0) = 0$

電荷量保存則より、

$$\begin{aligned} q(0) &= 2\sqrt{3},i(0) = 0 \\ \frac{1}{C}q(t) &= -R_2i(t) - L\frac{di(t)}{dt} \\ \end{aligned}$$

$i(t) = \frac{dq(t)}{dt}$ より、

$$\frac{1}{C}q(t) + R_2i(t) + L\frac{di(t)}{dt} = 0$$

$$L \frac{d^2q(t)}{dt^2} + R_2\frac{dq(t)}{dt} + \frac{1}{C}q(t) = 0$$

$L = 1,R_2 = 2$ を代入すると、

$$\frac{d^2q(t)}{dt^2} + 2\frac{dq(t)}{dt} + \frac{1}{C}q(t) = 0$$

特性方程式を解いて、

$$\lambda^2 + 2\lambda + \frac{1}{4} = 0$$

$$\lambda = -1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\lambda_1 = -1 + \frac{\sqrt{3}}{2},\lambda_2 = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\begin{aligned} q(t) &= A\exp(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2})t + B\exp(-1 - \frac{\sqrt{3}}{2})t \\ i(t) &= A(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2})\exp(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2})t + B(-1 - \frac{\sqrt{3}}{2})\exp(-1 - \frac{\sqrt{3}}{2})t \end{aligned}$$

$q(0) = 2\sqrt{3},i(0) = 0$ より、

$$\left \{ \begin{aligned} &2\sqrt{3} = A + B \\ &0 = A (-1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) + B(-1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) \end{aligned} \right.$$

$$A = \sqrt{3} + 2,B = \sqrt{3} - 2$$

よって、$i(t) = \frac{1}{2}\exp(-1 - \frac{\sqrt{3}}{2})t - \frac{1}{2}\exp(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2})t \quad (t > 0)$

(3)

絶対値をとる(大きさなので)

$$i(t) = \frac{1}{2}[\exp\{(-1 - \frac{\sqrt{3}}{2})t\} - \exp\{(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2})t\}]$$

$t > 0$ における、$|i(t)|$ が最大となるのは、

$\frac{d}{dt}\bigg|i(t)\bigg| = 0$ かつ、$\frac{d^2}{dt^2}\bigg|i(t)\bigg| < 0$ をみたす $t$ のとき

$$\begin{aligned} \frac{d}{dt}\bigg|i(t)\bigg| &= \frac{1}{2} \bigg[(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2})\exp\{(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2})t\} + (1 + \frac{\sqrt{3}}{2})\exp\{(-1 - \frac{\sqrt{3}}{2})t\}\bigg] \\ \frac{d^2}{d^2t^2}\bigg|i(t)\bigg| &= \frac{1}{2}\bigg[(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2})^2\exp\{(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2})t\} - (1 + \frac{\sqrt{3}}{2})^2\exp\{(-1 - \frac{\sqrt{3}}{2})t\}\bigg] \end{aligned}$$

$$A = \frac{1}{2}(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2})^2\exp\{(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2})t\}\quad, B = (1 + \frac{\sqrt{3}}{2})^2\exp\{(-1 - \frac{\sqrt{3}}{2})t\}$$

$\frac{d}{dt}\bigg|i(t)\bigg| = 0$ から、

$$(-2 + \sqrt{3})\exp\{(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2})t\}\exp\{(1 + \frac{\sqrt{3}}{2})t\} + 2 + \sqrt{3} = 0$$

$$\exp(\sqrt{3}t) = \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = (2 + \sqrt{3})^2$$

両辺の $\log$ をとる。

$$\begin{aligned} \sqrt{3}t &= 2\log(2 + \sqrt{3}) \\ t &= \frac{2}{\sqrt{3}}\log(2 + \sqrt{3}) \end{aligned}$$

$t = \frac{2}{\sqrt{3}}\log(2 + \sqrt{3})$ のとき、 $\frac{A}{B}$ を考える。

$$\begin{aligned} \frac{A}{B} &= \bigg(\frac{-1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}\bigg)^2\exp\sqrt{3} t \\ &= \bigg(\frac{-2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}\bigg)^2 \exp(2\log(2 + \sqrt{3})) \\ &= \{-(2 - \sqrt{3})^2\}^2 (2 + \sqrt{3})^2 \\ &= (2 - \sqrt{3})^4 (2 + \sqrt{3})^2 \\ &= (2 - \sqrt{3})^2 < 1 \Rightarrow \frac{A}{B} < 1 \end{aligned}$$

$$\frac{A}{B} < 1 \Leftrightarrow A < B \Leftrightarrow A - B < 0$$

以上から、求める時刻 $t$ は,

$$t > \frac{2}{\sqrt{3}}\log(2 + \sqrt{3})$$