九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻 2017年8月実施 オートマトンと言語

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Author

Zero, 祭音Myyura

Description

【問１】

以下の遷移図を持つ非決定性有限オートマトン $M = (K,\Sigma,\delta,q_0,F)$ に対し, 次の各問いに答えよ。ただし, $K = \{q_0,q_1,q_2,q_3,q_4\}$, $\Sigma = \{a,b\}$, $\delta$, $q_0$, $F = \{q_1,q_2,q_4\}$ は, それぞれ状態の集合, アルファベット, 遷移関数, 初期状態, 最終状態の集合を表す。$M$ によって受理される言語を $L$ とする。

(1) $L$ に含まれる長さ $4$ の文字列をすべて列挙せよ。

(2) $L$ に含まれる任意の文字列を, 正規表現 $(\alpha + \beta)(\alpha + \beta)^*$ を用いて表すことができる。ただし, $\alpha$ と $\beta$ はともに $\Sigma$ 上の文字列である。これらの文字列 $\alpha$ と $\beta$ を与えよ。

(3) $w$ を $\Sigma$ 上の文字列とする。以下の $2$ つの命題はそれぞれ真であるか偽であるか。真ならば理由を説明し, 偽ならば反例を与えよ。

• (a) 「 $w \in L$ ならば, $bb$ は $w$ の部分文字列ではない。」

• (b) 「 $bb$ が $w$ の部分文字列でないならば, $w \in L$ である。」

(4) $L$ を受理する状態数最小の決定性有限オートマトンの遷移図を与えよ。

【問２】

文脈自由文法 $G_1 = (N, \Sigma, P_1, S)$, $G_2 = (N, \Sigma, P_2, S)$ を考える． ただし，$N = \{S, A, B\}$, $\Sigma = \{a, b, c\}$, $P_i \ (i = 1, 2)$, $S$ はそれぞれ非終端記号の集合，終端記号の集合，生成規則の集合，開始記号とする. ここで, $P_1 = \{S \to AB, A \to ab \mid aAb, B \to c \mid Bc\}$, $P_2 = \{S \to AB, A \to a \mid aA, B \to bBc \mid bc\}$ とする．

(1) $G_1$ による文字列 $aabbc$ の導出過程を与えよ．

(2) $G_1$ が生成する言語 $L(G_1)$ に含まれる文字列を説明せよ．

(3) $G_2$ が生成する言語 $L(G_2)$ に含まれる文字列を説明せよ．

(4) 言語 $L(G_1) \cup L(G_2)$ を生成する文脈自由文法 $G_3 = (N_3, \Sigma, P_3, S)$ の生成規則の集合 $P_3$ を与えよ．ただし, $N_3 = \{S, A, B, C, D\}$.

题目描述

【问题 1】给定非确定性有限自动机 $M=(K,\Sigma,\delta,q_0,F)$，其中 $K=\{q_0,q_1,q_2,q_3,q_4\}$、$\Sigma=\{a,b\}$、初始状态为 $q_0$、终态集合 $F=\{q_1,q_2,q_4\}$，$\delta$ 及其余转移关系见原题迁移图。记 $M$ 接受的语言为 $L$。回答：

1. 枚举 $L$ 中所有长度为 $4$ 的字符串。
2. $L$ 中任意字符串都可用正则表达式 $(\alpha+\beta)(\alpha+\beta)^*$ 表示，其中 $\alpha,\beta$ 均为 $\Sigma$ 上的字符串；求 $\alpha$ 与 $\beta$。
3. 对任意 $\Sigma$ 上的字符串 $w$，分别判断下列命题真假；若为真须说明理由，若为假须给出反例：
   • (a) 若 $w\in L$，则 $bb$ 不是 $w$ 的子串；
   • (b) 若 $bb$ 不是 $w$ 的子串，则 $w\in L$。
4. 画出接受 $L$ 且状态数最少的确定性有限自动机的迁移图。

【问题 2】考虑上下文无关文法 $G_1=(N,\Sigma,P_1,S)$ 与 $G_2=(N,\Sigma,P_2,S)$，其中 $N=\{S,A,B\}$、$\Sigma=\{a,b,c\}$，$S$ 为开始符号，且

$$P_1=\{S\to AB,\ A\to ab\mid aAb,\ B\to c\mid Bc\},$$

$$P_2=\{S\to AB,\ A\to a\mid aA,\ B\to bBc\mid bc\}.$$

回答：

1. 给出 $G_1$ 推导字符串 $aabbc$ 的过程。
2. 描述 $G_1$ 生成的语言 $L(G_1)$ 中的字符串。
3. 描述 $G_2$ 生成的语言 $L(G_2)$ 中的字符串。
4. 构造生成并集语言 $L(G_1)\cup L(G_2)$ 的上下文无关文法 $G_3=(N_3,\Sigma,P_3,S)$：已知 $N_3=\{S,A,B,C,D\}$，求产生式集合 $P_3$。

Kai

【問１】

(1)

$b$ で終わることがない、かつ $b$ を連続で含まないことが条件になっているので

$$aaaa,aaba,abaa,baaa,baba$$

(2)

(1) を基に考えると

$$\alpha = a,\beta = ba$$

(3)

(a)

真;

理由：(2) より $w \in L$ ならば、$w$ は $(a + ba)(a + ba)^*$ と表せるので、$b$ の後に連続して $b$ がくることがないから。

(b)

偽;

反例：$ab$

(4)

部分集合構成により、到達可能な状態だけを列挙する。原図では $\delta(q_3,a)=\{q_2,q_4\}$、$\delta(q_4,a)=\{q_2\}$、$\delta(q_4,b)=\emptyset$ である。

	状態	$a$	$b$
開始	$\{q_0\}$	$\{q_1\}$	$\{q_3\}$
受理	$\{q_1\}$	$\{q_1\}$	$\{q_3\}$
	$\{q_3\}$	$\{q_2,q_4\}$	$\emptyset$
受理	$\{q_2,q_4\}$	$\{q_1,q_2\}$	$\{q_3\}$
受理	$\{q_1,q_2\}$	$\{q_1\}$	$\{q_3\}$
	$\emptyset$	$\emptyset$	$\emptyset$

三つの受理状態は同値なので一つの状態 $A$ にまとめられる。

	状態	$a$	$b$
開始	$q_0$	$A$	$q_3$
受理	$A$	$A$	$q_3$
	$q_3$	$A$	$\emptyset$
	$\emptyset$	$\emptyset$	$\emptyset$

受理状態と他の状態は空語で区別できる。$q_0$ と $q_3$ は接尾語 $ba$ で、これらと $\emptyset$ は接尾語 $a$ で区別できる。したがって四状態が最小である。以下の図では $A$ を $q_1$ と表記している。

ゆえに、求める状態数最小の決定性有限オートマトンの遷移図は

【問２】

(1)

$$S \to AB \to aAbB \to aAbc \to aabbc$$

(2)

$$L(G_1) = \{a^n b^n c^m \mid n \geq 1, m \geq 1\}$$

(3)

$$L(G_2) = \{a^m b^n c^n \mid m \geq 1, n \geq 1\}$$

(4)

$$\begin{aligned} P_3 = \{&S \to AB \mid CD \\ &A \to ab \mid aAb \\ &B \to c \mid Bc \\ &C \to a \mid aC \\ &D \to bDc \mid bc \} \end{aligned}$$