九州大学 総合理工学府 総合理工学専攻 2023年7月実施 問題19（量子力学）

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• 一维无限深方势阱
• 波函数归一化
• 量子态时间演化

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(1)

右図に示すような無限に深い一次元井戸型ポテンシャル $V(x)$ の中のエネルギー $E$，質量 $m$ の粒子の振る舞いについて以下の問いに答えよ。ただし，プランク定数を $h$ とし，$\hbar=h/2\pi$ とする。

この粒子の時間に依存しないシュレーディンガー方程式は式 (I) であり，ポテンシャル $V(x)$ は (II-1) および (II-2) とする。

$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)\right]\phi(x) =E\phi(x) \tag{I}$$

$$V(x)=0\quad (0\le x\le L) \tag{II-1}$$

$$V(x)=\infty\quad (x<0,\ x>L) \tag{II-2}$$

式 (I) の $0\le x\le L$ における一般解は $\phi(x)=A\sin kx+B\cos kx$ である。ただし，$E$ はエネルギー固有値であり，$A$，$B$ は定数である。

a) $x=0$ および $x=L$ での境界条件を記せ。

b) $n$ 番目 $(n=1,2,3\ldots)$ のエネルギー準位に対する規格化された波動関数 $\phi_n(x)$ とエネルギー固有値 $E_n$ を求めよ。

c) 無限に深い一次元井戸型ポテンシャルの中の粒子の振る舞いとして，量子論と古典論の違いを二つ挙げて説明せよ。

d) 時間発展を含むシュレーディンガー方程式 (III) を考える。

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) =\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)\right]\Psi(x,t) \tag{III}$$

ある時刻 $t=0$ の波動関数 $\Psi(x,0)$ は次式 (IV) のように $n=1$ と $n=2$ の重ね合わせ状態であったとする。

$$\Psi(x,0)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\phi_1(x)+\phi_2(x)\bigr) \tag{IV}$$

時刻 $t$ での波動関数 $\Psi(x,t)$ を求めよ。ただし，$\phi_1(x)$，$\phi_2(x)$，$E_1$，$E_2$ はそのまま用いてよい。

e) 時刻 $t$ での $x=x_0$ における確率密度 $|\Psi(x_0,t)|^2$ を実関数で書き表せ。ただし，$\phi_1(x_0)$，$\phi_2(x_0)$，$E_1$，$E_2$ はそのまま用いてよい。

题目描述

(1)

考虑如上图所示的一维无限深方势阱 $V(x)$ 中能量为 $E$、质量为 $m$ 的粒子，回答下列问题。设普朗克常数为 $h$，并记 $\hbar=h/2\pi$。

该粒子的定态薛定谔方程如式 (I) 所示，势能 $V(x)$ 由式 (II-1)、(II-2) 给出。

$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)\right]\phi(x) =E\phi(x) \tag{I}$$

$$V(x)=0\quad (0\le x\le L) \tag{II-1}$$

$$V(x)=\infty\quad (x<0,\ x>L) \tag{II-2}$$

在 $0\le x\le L$ 内，式 (I) 的通解为 $\phi(x)=A\sin kx+B\cos kx$。其中，$E$ 为能量本征值，$A$、$B$ 为常数。

a) 写出 $x=0$ 与 $x=L$ 处的边界条件。

b) 求第 $n$ 个能级 $(n=1,2,3\ldots)$ 对应的归一化波函数 $\phi_n(x)$ 和能量本征值 $E_n$。

c) 对一维无限深方势阱中粒子的行为，列举并解释量子理论与经典理论的两点差异。

d) 考虑含时薛定谔方程 (III)。

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) =\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)\right]\Psi(x,t) \tag{III}$$

设 $t=0$ 时的波函数 $\Psi(x,0)$ 如式 (IV) 所示，为 $n=1$ 与 $n=2$ 两个态的叠加。

$$\Psi(x,0)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\phi_1(x)+\phi_2(x)\bigr) \tag{IV}$$

求时刻 $t$ 的波函数 $\Psi(x,t)$。可直接使用 $\phi_1(x)$、$\phi_2(x)$、$E_1$、$E_2$。

e) 用实函数表示时刻 $t$、位置 $x=x_0$ 处的概率密度 $|\Psi(x_0,t)|^2$。可直接使用 $\phi_1(x_0)$、$\phi_2(x_0)$、$E_1$、$E_2$。

Kai

(1)

a)

井戸の外では波動関数が $0$ となるため，境界条件は

$$\boxed{\phi(0)=0,\qquad \phi(L)=0}$$

である。

b)

$\phi(0)=0$ より $B=0$ である。また，$\phi(L)=0$ より $A\sin kL=0$ となる。$A\ne0$ の解を選ぶと，

$$k=\frac{n\pi}{L},\qquad n=1,2,3,\ldots$$

である。規格化条件は

$$1=\int_0^L|\phi_n(x)|^2\,dx =|A|^2\int_0^L\sin^2\frac{n\pi x}{L}\,dx =|A|^2\frac{L}{2}.$$

$A$ を正の実数に選べば，求める波動関数は

$$\boxed{\phi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L}} \qquad (0\le x\le L)$$

となり，井戸の外では $\phi_n(x)=0$ である。また，式 (I) より $E=\hbar^2k^2/(2m)$ なので，

$$\boxed{E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} =\frac{n^2h^2}{8mL^2}}.$$

c)

第一に，エネルギーの取り得る値が異なる。古典論では，粒子のエネルギーは連続的な値を取り，静止した状態の $E=0$ も可能である。一方，量子論では境界条件によりエネルギーは $E_n=n^2h^2/(8mL^2)$ に限られ，最低エネルギーも $E_1=h^2/(8mL^2)>0$ となる。

第二に，位置の確率分布が異なる。古典論では，エネルギーが正の粒子は井戸の中を等速で運動し，壁で反射する。そのため，長時間にわたって無作為な時刻に位置を観測すると，確率密度は $1/L$ で一様となる。一方，量子論のエネルギー固有状態では，

$$|\phi_n(x)|^2=\frac{2}{L}\sin^2\frac{n\pi x}{L}$$

となり，位置によって確率密度が異なる。特に $n\ge2$ では，井戸の内部にも粒子が見つからない節が存在する。

d)

$\Psi_n(x,t)=\phi_n(x)T_n(t)$ とおいて式 (III) に代入し，式 (I) を用いると，

$$i\hbar\frac{dT_n}{dt}=E_nT_n$$

を得る。$T_n(0)=1$ とすれば，

$$T_n(t)=e^{-iE_nt/\hbar}.$$

重ね合わせの原理と初期条件 (IV) より，

$$\boxed{\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \phi_1(x)e^{-iE_1t/\hbar}+\phi_2(x)e^{-iE_2t/\hbar} \right]}.$$

e)

$\phi_1(x_0)$，$\phi_2(x_0)$ は実数なので，(d) の波動関数にその複素共役を掛けると，

$$\begin{aligned} |\Psi(x_0,t)|^2 &=\frac{1}{2}\bigl[\phi_1(x_0)^2+\phi_2(x_0)^2\bigr]\\ &\quad+\frac{\phi_1(x_0)\phi_2(x_0)}{2} \\ &\qquad\times\left[e^{i(E_1-E_2)t/\hbar}+e^{-i(E_1-E_2)t/\hbar}\right]. \end{aligned}$$

$e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta$ を用いれば，

$$\boxed{\begin{aligned} |\Psi(x_0,t)|^2 &=\frac{1}{2}\bigl[\phi_1(x_0)^2+\phi_2(x_0)^2\bigr]\\ &\quad+\phi_1(x_0)\phi_2(x_0) \cos\frac{(E_2-E_1)t}{\hbar}. \end{aligned}}$$

Reference

• 九州大学大学院総合理工学府：過去問請求
• 九州大学大学院総合理工学府：2024年度修士課程一般選抜募集要項（試験日程）