京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2024年8月実施 I-4B（物理数学）

标签：

• Kyoto-University
• Quadratic-Form
• Orthogonal-Diagonalization-of-Symmetric-Matrices
• Fourier-Series
• Exact-Differential-Equation

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

大学公表の原題

問題要約

(1)

楕円

$$3x^2+2xy+3y^2=1$$

を

$$(x,y)A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=1$$

と表す対称行列 $A$、その二つの固有値、および楕円の面積を求めよ。

(2)

周期 $4a$ の関数

$$f(x)= \begin{cases} 1,&-a\le x\le a,\\ 0,&a<|x|\le2a \end{cases}$$

のフーリエ級数を求めよ。

(3)

始点 $(0,1)$ から終点 $(1,2)$ までの任意の経路 $C$ に対し、

$$\int_C\left[ (\alpha x^4y+\beta x^2y^3-y^5)\,dx +(2x^5+2x^3y^2-5xy^4)\,dy \right]$$

が経路に依存しないように $\alpha,\beta$ を定めよ。

Kai

(1)

$$A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}, \qquad \det(A-\lambda I)=(\lambda-2)(\lambda-4).$$

固有値は $2,4$。直交変換後の楕円は $2u^2+4v^2=1$ だから、面積は

$$\pi\frac{1}{\sqrt2}\frac12=\frac{\pi}{2\sqrt2}.$$

(2)

$f$ は偶関数なので正弦項は 0 である。基本角周波数を $\pi/(2a)$ とすると、

$$a_0=\frac{1}{2a}\int_{-2a}^{2a}f(x)\,dx=1,$$

$$a_n=\frac{1}{2a}\int_{-2a}^{2a} f(x)\cos\frac{n\pi x}{2a}\,dx =\frac{2}{n\pi}\sin\frac{n\pi}{2}.$$

したがって

$$\frac12+\frac{2}{\pi} \sum_{m=0}^{\infty}\left[ \frac{\cos\frac{(4m+1)\pi x}{2a}}{4m+1} -\frac{\cos\frac{(4m+3)\pi x}{2a}}{4m+3} \right].$$

この級数は連続点で $f(x)$ に収束し、不連続点 $x=(2k+1)a$（$k\in\mathbb Z$）では左右極限の平均 $1/2$ に収束する。

(3)

被積分式を $P\,dx+Q\,dy$ と書く。経路独立の条件は

$$\begin{aligned} 0&=\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\\ &=(\alpha-10)x^4+3(\beta-2)x^2y^2. \end{aligned}$$

よって

$$\alpha=10, \qquad \beta=2.$$

Reference

• 京都大学 物理学・宇宙物理学専攻 2025年度大学院入学試験問題
• Miyake：I-4B (1)
• Miyake：I-4B (2)
• Miyake：I-4B (3)