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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2024年8月実施 I-4A（量子力学）

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

ハミルトニアン H^\hat H は時間に依存せず、状態 ∣ψ(t)⟩|\psi(t)\rangle は以下のシュレディンガー方程式に従う。

iℏddt∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩.i\hbar\frac d{dt}|\psi(t)\rangle=\hat H|\psi(t)\rangle.

ここで ℏ\hbar はプランク定数を 2π2\pi で割ったものである。

(1) 時刻 t=0t=0 に ∣ψ(0)⟩|\psi(0)\rangle が固有値 EE のエネルギー固有状態であったとき、時刻 tt での状態 ∣ψ(t)⟩=c(t)∣ψ(0)⟩|\psi(t)\rangle=c(t)|\psi(0)\rangle について、係数 c(t)c(t) を答えよ。

以下ではエネルギーの異なる2つのエネルギー固有状態 ∣1⟩|1\rangle と ∣2⟩|2\rangle を考える。ここで ∣1⟩|1\rangle と ∣2⟩|2\rangle は規格化されており、それぞれのエネルギー固有値を −ℏω-\hbar\omega と ℏω\hbar\omega とする。ただし、ω≠0\omega\ne0 である。初期時刻 t=0t=0 で、状態は ∣ψ(0)⟩=12∣1⟩+12∣2⟩|\psi(0)\rangle=\frac1{\sqrt2}|1\rangle+\frac1{\sqrt2}|2\rangle にあった。

(2) 時刻 tt での状態を ∣ψ(t)⟩=c1(t)∣1⟩+c2(t)∣2⟩|\psi(t)\rangle=c_1(t)|1\rangle+c_2(t)|2\rangle と表すとき、係数 c1(t)c_1(t) および c2(t)c_2(t) を答えよ。

(3) 演算子 A^\hat A について、∣1⟩|1\rangle と ∣2⟩|2\rangle に関する要素が

⟨1∣A^∣1⟩=0,⟨1∣A^∣2⟩=1,⟨2∣A^∣1⟩=1,⟨2∣A^∣2⟩=0\begin{aligned} \langle1|\hat A|1\rangle&=0,&\langle1|\hat A|2\rangle&=1,\\ \langle2|\hat A|1\rangle&=1,&\langle2|\hat A|2\rangle&=0 \end{aligned}

であるとする。初期時刻 t=0t=0 での演算子 A^\hat A の期待値 ⟨ψ(0)∣A^∣ψ(0)⟩\langle\psi(0)|\hat A|\psi(0)\rangle を求めよ。

(4) 小問 (3) の演算子 A^\hat A に対して、時刻 tt での期待値 ⟨ψ(t)∣A^∣ψ(t)⟩\langle\psi(t)|\hat A|\psi(t)\rangle を計算せよ。また、時刻 tt での A^\hat A に関するゆらぎ ΔA\Delta A を求めよ。ただし、A^\hat A のゆらぎは、A^\hat A の期待値 ⟨A^⟩\langle\hat A\rangle と A^2\hat A^2 の期待値 ⟨A^2⟩\langle\hat A^2\rangle を用いて以下のように定義される。

ΔA=⟨A^2⟩−⟨A^⟩2.\Delta A=\sqrt{\langle\hat A^2\rangle-\langle\hat A\rangle^2}.

题目描述​

哈密顿算符 H^\hat H 不随时间变化，状态 ∣ψ(t)⟩|\psi(t)\rangle 满足薛定谔方程

iℏddt∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩,i\hbar\frac d{dt}|\psi(t)\rangle=\hat H|\psi(t)\rangle,

其中 ℏ\hbar 为普朗克常数除以 2π2\pi。

(1) 若 t=0t=0 时 ∣ψ(0)⟩|\psi(0)\rangle 是本征值为 EE 的能量本征态，且时刻 tt 的状态写成 ∣ψ(t)⟩=c(t)∣ψ(0)⟩|\psi(t)\rangle=c(t)|\psi(0)\rangle，求 c(t)c(t)。

以下考虑能量不同的两个归一化能量本征态 ∣1⟩,∣2⟩|1\rangle,|2\rangle，其本征值分别为 −ℏω,ℏω-\hbar\omega,\hbar\omega，ω≠0\omega\ne0。初始时刻 t=0t=0 的状态为 ∣ψ(0)⟩=12∣1⟩+12∣2⟩|\psi(0)\rangle=\frac1{\sqrt2}|1\rangle+\frac1{\sqrt2}|2\rangle。

(2) 若 ∣ψ(t)⟩=c1(t)∣1⟩+c2(t)∣2⟩|\psi(t)\rangle=c_1(t)|1\rangle+c_2(t)|2\rangle，求 c1(t),c2(t)c_1(t),c_2(t)。

(3) 算符 A^\hat A 在上述两态之间的矩阵元为

⟨1∣A^∣1⟩=0,⟨1∣A^∣2⟩=1,⟨2∣A^∣1⟩=1,⟨2∣A^∣2⟩=0.\begin{aligned} \langle1|\hat A|1\rangle&=0,&\langle1|\hat A|2\rangle&=1,\\ \langle2|\hat A|1\rangle&=1,&\langle2|\hat A|2\rangle&=0. \end{aligned}

求初始时刻的期望值 ⟨ψ(0)∣A^∣ψ(0)⟩\langle\psi(0)|\hat A|\psi(0)\rangle。

(4) 对 (3) 的算符，计算时刻 tt 的期望值 ⟨ψ(t)∣A^∣ψ(t)⟩\langle\psi(t)|\hat A|\psi(t)\rangle 及涨落 ΔA\Delta A。涨落用 A^\hat A 和 A^2\hat A^2 的期望值定义为

ΔA=⟨A^2⟩−⟨A^⟩2.\Delta A=\sqrt{\langle\hat A^2\rangle-\langle\hat A\rangle^2}.

Kai​

(1)​

Schrödinger 方程式より

iℏc˙=Ec,i\hbar\dot c=Ec,

したがって

c(t)=e−iEt/ℏ.\boxed{c(t)=e^{-iEt/\hbar}}.

(2)​

各固有状態は位相因子だけ時間発展するので、

c1(t)=eiωt2,c2(t)=e−iωt2\boxed{ c_1(t)=\frac{e^{i\omega t}}{\sqrt2}, \qquad c_2(t)=\frac{e^{-i\omega t}}{\sqrt2}}

である。

(3)​

⟨A^⟩t=0=12(⟨1∣+⟨2∣)A^(∣1⟩+∣2⟩)=1.\langle\hat A\rangle_{t=0} =\frac12(\langle1|+\langle2|)\hat A(|1\rangle+|2\rangle) =\boxed{1}.

(4)​

⟨A^⟩=c1∗c2+c2∗c1=cos⁡(2ωt).\langle\hat A\rangle =c_1^*c_2+c_2^*c_1 =\boxed{\cos(2\omega t)}.

この二準位空間では A^2=I\hat A^2=I であるから、

ΔA=1−cos⁡2(2ωt)=∣sin⁡(2ωt)∣.\boxed{\Delta A =\sqrt{1-\cos^2(2\omega t)} =|\sin(2\omega t)|}.

Reference​

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