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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2024年8月実施 I-4A（量子力学）

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

大学公表の原題

問題要約​

時間に依存しない Hamiltonian H^\hat H に対して

iℏddt∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle=\hat H|\psi(t)\rangle

とする。

  1. ∣ψ(0)⟩|\psi(0)\rangle が固有値 EE の固有状態で、 ∣ψ(t)⟩=c(t)∣ψ(0)⟩|\psi(t)\rangle=c(t)|\psi(0)\rangle と表されるとき、c(t)c(t) を求めよ。
  2. 正規化されたエネルギー固有状態 ∣1⟩,∣2⟩|1\rangle,|2\rangle の固有値をそれぞれ −ℏω,ℏω-\hbar\omega,\hbar\omega（ω≠0\omega\ne0）とし、
    ∣ψ(0)⟩=∣1⟩+∣2⟩2|\psi(0)\rangle=\frac{|1\rangle+|2\rangle}{\sqrt2}
    とする。∣ψ(t)⟩=c1(t)∣1⟩+c2(t)∣2⟩|\psi(t)\rangle=c_1(t)|1\rangle+c_2(t)|2\rangle の係数を求めよ。
  3. 演算子 A^\hat A の行列要素が
    ⟨1∣A^∣1⟩=⟨2∣A^∣2⟩=0,⟨1∣A^∣2⟩=⟨2∣A^∣1⟩=1\langle1|\hat A|1\rangle=\langle2|\hat A|2\rangle=0, \qquad \langle1|\hat A|2\rangle=\langle2|\hat A|1\rangle=1
    のとき、t=0t=0 での期待値を求めよ。
  4. 時刻 tt での ⟨A^⟩\langle\hat A\rangle と
    ΔA=⟨A^2⟩−⟨A^⟩2\Delta A=\sqrt{\langle\hat A^2\rangle-\langle\hat A\rangle^2}
    を求めよ。

题目描述​

定态 Hamiltonian 下，先求能量本征态的时间演化。再考虑能量为 −ℏω,ℏω-\hbar\omega,\hbar\omega 的二能级等幅叠加态，求给定非对角观测量的期望值与涨落。

Kai​

(1)​

Schrödinger 方程式より

iℏc˙=Ec,i\hbar\dot c=Ec,

したがって

c(t)=e−iEt/ℏ.\boxed{c(t)=e^{-iEt/\hbar}}.

(2)​

各固有状態は位相因子だけ時間発展するので、

c1(t)=eiωt2,c2(t)=e−iωt2\boxed{ c_1(t)=\frac{e^{i\omega t}}{\sqrt2}, \qquad c_2(t)=\frac{e^{-i\omega t}}{\sqrt2}}

である。

(3)​

⟨A^⟩t=0=12(⟨1∣+⟨2∣)A^(∣1⟩+∣2⟩)=1.\langle\hat A\rangle_{t=0} =\frac12(\langle1|+\langle2|)\hat A(|1\rangle+|2\rangle) =\boxed{1}.

(4)​

⟨A^⟩=c1∗c2+c2∗c1=cos⁡(2ωt).\langle\hat A\rangle =c_1^*c_2+c_2^*c_1 =\boxed{\cos(2\omega t)}.

この二準位空間では A^2=I\hat A^2=I であるから、

ΔA=1−cos⁡2(2ωt)=∣sin⁡(2ωt)∣.\boxed{\Delta A =\sqrt{1-\cos^2(2\omega t)} =|\sin(2\omega t)|}.

Reference​

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