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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2022年度 I-3-CD

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

I-3C（物理数学）​

  1. 三次元ベクトル場 A,B\mathbf A,\mathbf B について、次の恒等式を証明せよ（一成分を示せばよい）。

    ∇×(A×B)=A(∇⋅B)−B(∇⋅A)+(B⋅∇)A−(A⋅∇)B,\nabla\times(\mathbf A\times\mathbf B)=\mathbf A(\nabla\cdot\mathbf B)-\mathbf B(\nabla\cdot\mathbf A)+(\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf A-(\mathbf A\cdot\nabla)\mathbf B,
    A×(∇×A)=−(A⋅∇)A+12∇∣A∣2.\mathbf A\times(\nabla\times\mathbf A)=-(\mathbf A\cdot\nabla)\mathbf A+\tfrac12\nabla|\mathbf A|^2.

  2. ∇⋅(A×B)\nabla\cdot(\mathbf A\times\mathbf B) を ∇×A,∇×B,A,B\nabla\times\mathbf A,\nabla\times\mathbf B,\mathbf A,\mathbf B で表せ。

  3. y′+z′+7y+5z=0, 3y′+2z′+y+z=0y'+z'+7y+5z=0,\ 3y'+2z'+y+z=0（′=d/dx'=d/dx）の一般解を求めよ。

  4. ∫01ln⁡(1−x) dx/x\int_0^1\ln(1-x)\,dx/x を求めよ。∑n≥1n−2=π2/6\sum_{n\ge1}n^{-2}=\pi^2/6 を用いてよい。

I-3D（量子力学）​

規格化状態 ∣S,M⟩|S,M\rangle と無次元下降演算子 S−∣S,M⟩=(S+M)(S−M+1)∣S,M−1⟩S_-|S,M\rangle=\sqrt{(S+M)(S-M+1)}|S,M-1\rangle を用いる。合成系では S−=s1−+s2−S_-=s_{1-}+s_{2-}。

  1. 二つのスピン 1/21/2 を合成し、∣1,1⟩|1,1\rangle を積状態で表せ。
  2. (1) に下降演算子を作用させ、規格化した ∣1,0⟩|1,0\rangle を求めよ。
  3. それと直交する ∣0,0⟩|0,0\rangle を求めよ。
  4. スピン 11 と 1/21/2 の合成で ∣3/2,1/2⟩|3/2,1/2\rangle を ∣1,M⟩∣1/2,m⟩|1,M\rangle|1/2,m\rangle の線形結合で表せ。

题目描述​

I-3C：证明题给两个矢量恒等式；求叉积的散度；解 y′+z′+7y+5z=0,3y′+2z′+y+z=0y'+z'+7y+5z=0,3y'+2z'+y+z=0；利用 ∑n−2=π2/6\sum n^{-2}=\pi^2/6 计算 ∫01ln⁡(1−x)/x dx\int_0^1\ln(1-x)/x\,dx。

I-3D：采用 S−∣S,M⟩=(S+M)(S−M+1)∣S,M−1⟩S_-|S,M\rangle=\sqrt{(S+M)(S-M+1)}|S,M-1\rangle 和合成下降算符 s1−+s2−s_{1-}+s_{2-}。

  1. 用两个自旋 1/21/2 的直积态写出 ∣1,1⟩|1,1\rangle。
  2. 经下降操作求 ∣1,0⟩|1,0\rangle。
  3. 用正交性求 ∣0,0⟩|0,0\rangle。
  4. 对自旋 11 与 1/21/2 的合成，求归一化的 ∣3/2,1/2⟩|3/2,1/2\rangle 展开。

Kai​

I-3C​

(1)​

反復添字を縮約する。ϵijkϵklm=δilδjm−δimδjl\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl} より

[∇×(A×B)]i=∂j(AiBj−AjBi)=Ai∂jBj−Bi∂jAj+Bj∂jAi−Aj∂jBi.[\nabla\times(\mathbf A\times\mathbf B)]_i =\partial_j(A_iB_j-A_jB_i) =A_i\partial_jB_j-B_i\partial_jA_j+B_j\partial_jA_i-A_j\partial_jB_i.

同様に

[A×(∇×A)]i=Aj∂iAj−Aj∂jAi=12∂i(AjAj)−Aj∂jAi.[\mathbf A\times(\nabla\times\mathbf A)]_i =A_j\partial_iA_j-A_j\partial_jA_i =\tfrac12\partial_i(A_jA_j)-A_j\partial_jA_i.

それぞれ所要の恒等式である。

(2)​

積の微分を用いて

∇⋅(A×B)=B⋅(∇×A)−A⋅(∇×B).\boxed{\nabla\cdot(\mathbf A\times\mathbf B) =\mathbf B\cdot(\nabla\times\mathbf A)-\mathbf A\cdot(\nabla\times\mathbf B).}

(3)​

ddx(yz)=(139−20−14)(yz).\frac{d}{dx}\binom yz=\begin{pmatrix}13&9\\-20&-14\end{pmatrix}\binom yz.

固有値は −2,1-2,1、対応する固有ベクトルは (−3,5)T,(−3,4)T(-3,5)^{\mathsf T},(-3,4)^{\mathsf T}。従って任意定数 C1,C2C_1,C_2 により

(yz)=C1e−2x(−35)+C2ex(−34).\boxed{\binom yz=C_1e^{-2x}\binom{-3}{5}+C_2e^x\binom{-3}{4}.}

(4)​

−ln⁡(1−x)/x=∑n=1∞xn−1/n-\ln(1-x)/x=\sum_{n=1}^\infty x^{n-1}/n は 0<x<10<x<1 で非負項の級数なので、単調収束により項別積分できる。

∫01ln⁡(1−x)x dx=−∑n=1∞1n2=−π26.\boxed{\int_0^1\frac{\ln(1-x)}x\,dx=-\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=-\frac{\pi^2}{6}.}

I-3D​

∣↑⟩=∣1/2,1/2⟩|\uparrow\rangle=|1/2,1/2\rangle、∣↓⟩=∣1/2,−1/2⟩|\downarrow\rangle=|1/2,-1/2\rangle と略記する。

(1)​

最大磁気量子数を持つ唯一の積状態であるから ∣1,1⟩=∣↑↑⟩\boxed{|1,1\rangle=|\uparrow\uparrow\rangle}。

(2)​

S−∣1,1⟩=2∣1,0⟩=∣↓↑⟩+∣↑↓⟩S_-|1,1\rangle=\sqrt2|1,0\rangle=|\downarrow\uparrow\rangle+|\uparrow\downarrow\rangle より

∣1,0⟩=∣↑↓⟩+∣↓↑⟩2.\boxed{|1,0\rangle=\frac{|\uparrow\downarrow\rangle+|\downarrow\uparrow\rangle}{\sqrt2}.}

(3)​

M=0M=0 の二次元空間で直交性・規格化を課して

∣0,0⟩=∣↑↓⟩−∣↓↑⟩2.\boxed{|0,0\rangle=\frac{|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle}{\sqrt2}.}

全体位相は任意である。

(4)​

∣3/2,3/2⟩=∣1,1⟩∣↑⟩|3/2,3/2\rangle=|1,1\rangle|\uparrow\rangle に一度 S−S_- を作用させると

3∣3/2,1/2⟩=2∣1,0⟩∣↑⟩+∣1,1⟩∣↓⟩.\sqrt3|3/2,1/2\rangle=\sqrt2|1,0\rangle|\uparrow\rangle+|1,1\rangle|\downarrow\rangle.

従って

∣3/2,1/2⟩=23∣1,0⟩∣↑⟩+13∣1,1⟩∣↓⟩.\boxed{|3/2,1/2\rangle=\sqrt{\frac23}|1,0\rangle|\uparrow\rangle+\sqrt{\frac13}|1,1\rangle|\downarrow\rangle.}

Reference​

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