京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2022年度 I-2-AB

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• 京都大学
• 电偶极子的电势
• 电四极子
• 波动方程

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

I-2A（電磁気学）

真空の誘電率を $\varepsilon_0$ とし、SI 単位系を用いる。$q,d>0$ とする。必要なら $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\alpha(\alpha-1)x^2/2+\cdots$ を用いてよい。

1. 図1(a) のように点電荷 $+q,-q$ を配置する。点 $\mathbf r=(x,y,z)$ の静電ポテンシャル $\phi_1$ と、$z$ 軸上での概略図を示せ。
2. $d/r\ll1$（$r=|\mathbf r|$）で二次以上を無視し、双極子モーメント $\mathbf p=qd\mathbf e_z$ を用いて $\phi_2$ を求めよ。
3. $\mathbf E=-\nabla\phi_2$ を計算し、$\mathbf r,\mathbf p$ で表せ。結果に $\nabla$ を残さないこと。
4. 図1(b) のように点電荷 $+q,-2q,+q$ を配置する。$\theta$ を図のように取り、$d/r$ の三次以上を無視して遠方のポテンシャル $\phi_3(r,\theta)$ を求めよ。
5. $\phi_3$ から電場の $r,\theta$ 成分を求めよ。
6. 図1(c) のように、二つの電荷 $+q$ を距離 $2d$ だけ離して置く。遠方の $\phi_4$ を求め、四重極子との大きさの違いを述べよ。

I-2B（物理数学）

無限区間の一次元波動方程式 $u_{tt}=c^2u_{xx}$（$c>0$）を考える。

1. $f_{xy}=0$ の一般解は $f=\psi(x)+\phi(y)$ であることを示せ。
2. $\xi=x+ct,\eta=x-ct$ と置いて $u_{\xi\eta}$ を求めよ。
3. 波動方程式の一般解を $\xi,\eta$ の任意関数で表せ。
4. 初期条件 $u(x,0)=e^{-x^2},\ u_t(x,0)=0$ を $\psi,\phi$ とそれらの導関数の線形結合で表せ。
5. 積分定数を $C_1$ として $\psi(x)$ を求めよ。
6. $\phi(x)$ と $u(x,t)$ を決定せよ。
7. 下の図1を解答用紙に書き写し、$u(x,0)$ を点線、$u(x,3/c)$ を実線で図示せよ。

题目描述

I-2A：真空介电常数 $\varepsilon_0$，$q,d>0$，采用 SI 制。

1. $+q,-q$ 按 I-2A 图1(a) 配置，求任意位置的电势及其轴上图像。
2. 在 $d/r\ll1$ 下保留偶极主项，用 $\mathbf p=qd\mathbf e_z$ 表示电势。
3. 计算电场，结果不含梯度算符。
4. 按 I-2A 图1(b) 配置 $+q,-2q,+q$，求远处电势至 $(d/r)^2$ 阶，$\theta$ 如图所示。
5. 求径向、极角方向电场。
6. 按 I-2A 图1(c) 将两个正电荷相隔 $2d$ 放置，求远场电势，并与四极电势比较。

I-2B：无限直线上的波动方程 $u_{tt}=c^2u_{xx}$，$c>0$。

1. 证明 $f_{xy}=0$ 的通解为 $\psi(x)+\phi(y)$。
2. 用 $\xi=x+ct,\eta=x-ct$ 计算混合偏导。
3. 写出波动方程通解。
4. 将 $u(x,0)=e^{-x^2},u_t(x,0)=0$ 化为 $\psi,\phi$ 的条件。
5. 积分求 $\psi$。
6. 求 $\phi$ 和 $u$。
7. 将 I-2B 图1的坐标轴画到答题纸上，用虚线、实线分别画初始波形和 $t=3/c$ 时波形。

Kai

I-2A

(1)

無限遠を電位の基準に取れば

$$\boxed{\phi_1=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left[\frac1{\sqrt{x^2+y^2+(z-d/2)^2}}-\frac1{\sqrt{x^2+y^2+(z+d/2)^2}}\right].}$$

軸上では奇関数で、$z=0$ でゼロ、$z=d/2$ で両側から $+\infty$、$z=-d/2$ で両側から $-\infty$、無限遠ではゼロに近づく。

(2)

$|\mathbf r\mp(d/2)\mathbf e_z|^{-1}=r^{-1}\pm dz/(2r^3)+O(d^2/r^3)$ より

$$\boxed{\phi_2=\frac{\mathbf p\cdot\mathbf r}{4\pi\varepsilon_0r^3}.}$$

(3)

$\nabla r^{-3}=-3\mathbf r/r^5$ を用いて

$$\boxed{\mathbf E=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{3(\mathbf p\cdot\mathbf r)\mathbf r}{r^5}-\frac{\mathbf p}{r^3}\right].}$$

(4)

$$\phi_3=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left[\frac1{\sqrt{r^2-2rd\cos\theta+d^2}}+ \frac1{\sqrt{r^2+2rd\cos\theta+d^2}}-\frac2r\right].$$

定数項と一次項が相殺され、

$$\boxed{\phi_3(r,\theta)\simeq\frac{qd^2}{4\pi\varepsilon_0r^3}(3\cos^2\theta-1).}$$

(5)

$$\boxed{E_r=\frac{3qd^2}{4\pi\varepsilon_0r^4}(3\cos^2\theta-1),\qquad E_\theta=\frac{6qd^2}{4\pi\varepsilon_0r^4}\sin\theta\cos\theta.}$$

(6)

$$\boxed{\phi_4=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac2r+\frac{d^2}{r^3}(3\cos^2\theta-1)+O\left(\frac{d^4}{r^5}\right)\right].}$$

総電荷が $2q$ であるため、主項は $r^{-1}$。四重極子の $r^{-3}$ より緩やかに減衰し、一般の方向では遠方で $(r/d)^2$ 程度大きい。

I-2B

(1)

$\partial_yf_x=0$ から $f_x=g(x)$。$x$ で積分して $f=\psi(x)+\phi(y)$ を得る。逆にこの形は方程式を満たす。

(2)

$$\partial_\xi=\frac12\partial_x+\frac1{2c}\partial_t,\qquad \partial_\eta=\frac12\partial_x-\frac1{2c}\partial_t,$$

より $\boxed{u_{\xi\eta}=(u_{xx}-u_{tt}/c^2)/4=0}$。

(3)

$$\boxed{u(x,t)=\psi(x+ct)+\phi(x-ct).}$$

(4)

$$\boxed{\psi(x)+\phi(x)=e^{-x^2},\qquad c[\psi'(x)-\phi'(x)]=0.}$$

(5)

和の式を微分すると $\psi'+\phi'=-2xe^{-x^2}$。差の式と合わせて $\psi'=-xe^{-x^2}$、従って $\boxed{\psi=e^{-x^2}/2+C_1}$。

(6)

$\phi=e^{-x^2}/2-C_1$ であり

$$\boxed{u(x,t)=\frac12\left[e^{-(x+ct)^2}+e^{-(x-ct)^2}\right].}$$

(7)

初期の高さ $1$ のガウス波形が、左右に速さ $c$ で進む高さ約 $1/2$ の二つの波に分かれる。$t=3/c$ では中心は $x=\pm3$。

Reference

• 京都大学公式問題（2022年度、PDF 4–6ページ）