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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2022年度 I-1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

図1のように、質量 mm、電荷 qq の粒子が xyxy 平面内で非相対論的に運動し、ω>0\omega>0 の中心力ポテンシャル

V=mω22(x2+y2)V=\frac{m\omega^2}2(x^2+y^2)

を受ける。磁場は紙面の奥から手前（+z+z 方向）に一様で、B≥0B\ge0、ベクトルポテンシャルは (Ax,Ay)=B(−y,x)/2(A_x,A_y)=B(-y,x)/2 とする。帽子は演算子を表す。

図1・図2：荷電粒子と磁場による縮退の分裂

  1. B=0B=0 の古典ハミルトニアン H0H_0 を運動量 (px,py)(p_x,p_y) で書け。

  2. a^x∣0⟩=a^y∣0⟩=0\hat a_x|0\rangle=\hat a_y|0\rangle=0 として、量子化した H^0\hat H_0 の全固有状態・固有値を示せ。各方向について

    x^i=ℏ2mω(a^i†+a^i),p^i=imℏω2(a^i†−a^i)\hat x_i=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a_i^\dagger+\hat a_i),\qquad \hat p_i=i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}(\hat a_i^\dagger-\hat a_i)

    を用い、状態の規格化は不要とする。

  3. L^=x^p^y−y^p^x\hat L=\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x、M^=a^x†+ia^y†\hat M=\hat a_x^\dagger+i\hat a_y^\dagger、N^=a^x†−ia^y†\hat N=\hat a_x^\dagger-i\hat a_y^\dagger とおく。[H^0,L^][\hat H_0,\hat L]、[H^0,M^][\hat H_0,\hat M]、[H^0,N^][\hat H_0,\hat N]、[L^,M^][\hat L,\hat M]、[L^,N^][\hat L,\hat N]、[M^,N^][\hat M,\hat N] をこれらの演算子で表せ。

  4. M^,N^\hat M,\hat N を用いて H^0,L^\hat H_0,\hat L の全同時固有状態と両固有値を示せ。

  5. B>0B>0 で pi↦pi−qAip_i\mapsto p_i-qA_i と置換して得られる HBH_B を、L=xpy−ypxL=xp_y-yp_x を用いて書け。

  6. H^B\hat H_B の全エネルギー固有値を求めよ。

  7. 以下 q>0q>0、スピン自由度のない同種フェルミ粒子を考え、相互作用を無視する。図2のように、B=0B=0 で縮退度 D>1D>1 の準位に 0<n≤D0<n\le D 個の粒子が入っている。B>0B>0 にして分裂したこの DD 状態のうち低い nn 状態を占有するとき、エネルギーの総和を求めよ。

  8. 前問の総和の B=0B=0 近傍の振る舞いを、n=Dn=D と 0<n<D0<n<D それぞれ図示せよ。

题目描述​

如上图1，质量 mm、电荷 qq 的粒子在 xyxy 平面内运动，受势 V=mω2(x2+y2)/2V=m\omega^2(x^2+y^2)/2（ω>0\omega>0）。磁场 B≥0B\ge0 沿 +z+z，矢势为 A=B(−y,x)/2\mathbf A=B(-y,x)/2。

  1. 写出零磁场经典哈密顿量。
  2. 用题给谐振子升降算符写出全部能量本征态和能级，真空满足 ax∣0⟩=ay∣0⟩=0a_x|0\rangle=a_y|0\rangle=0，无须归一化。
  3. 对 L=xpy−ypxL=xp_y-yp_x、M=ax†+iay†M=a_x^\dagger+ia_y^\dagger、N=ax†−iay†N=a_x^\dagger-ia_y^\dagger，求 [H0,L],[H0,M],[H0,N],[L,M],[L,N],[M,N][H_0,L],[H_0,M],[H_0,N],[L,M],[L,N],[M,N]。
  4. 用 M,NM,N 给出 H0,LH_0,L 的共同本征态及本征值。
  5. 作最小耦合替换 pi→pi−qAip_i\to p_i-qA_i，用 LL 整理哈密顿量。
  6. 求非零磁场下全部能级。
  7. 取 q>0q>0、无自旋且无相互作用的相同费米子。如上图2，原来简并度为 DD 的能级中有 nn 个粒子，磁场打开后占据由该能级分裂的最低 nn 态，求总能量。
  8. 分别画出满壳层 n=Dn=D 和未满壳层 0<n<D0<n<D 时总能量在 B=0B=0 附近的变化。

Kai​

(1)​

H0=px2+py22m+mω22(x2+y2).\boxed{H_0=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}+\frac{m\omega^2}2(x^2+y^2).}

(2)​

H^0=ℏω(a^x†a^x+a^y†a^y+1).\hat H_0=\hbar\omega(\hat a_x^\dagger\hat a_x+\hat a_y^\dagger\hat a_y+1).

独立な基底は (a^x†)r(a^y†)s∣0⟩(\hat a_x^\dagger)^r(\hat a_y^\dagger)^s|0\rangle、r,s≥0r,s\ge0 の整数であり、 Ers=ℏω(r+s+1)\boxed{E_{rs}=\hbar\omega(r+s+1)}。

(3)​

L^=iℏ(a^y†a^x−a^x†a^y)\hat L=i\hbar(\hat a_y^\dagger\hat a_x-\hat a_x^\dagger\hat a_y) と交換関係 [a^i,a^j†]=δij[\hat a_i,\hat a_j^\dagger]=\delta_{ij} を用いると

[H^0,L^]=0,[H^0,M^]=ℏωM^,[H^0,N^]=ℏωN^,\boxed{[\hat H_0,\hat L]=0,\quad[\hat H_0,\hat M]=\hbar\omega\hat M,\quad [\hat H_0,\hat N]=\hbar\omega\hat N,}
[L^,M^]=ℏM^,[L^,N^]=−ℏN^,[M^,N^]=0.\boxed{[\hat L,\hat M]=\hbar\hat M,\quad[\hat L,\hat N]=-\hbar\hat N,\quad [\hat M,\hat N]=0.}

(4)​

L^∣0⟩=0\hat L|0\rangle=0 なので

∣r,s⟩∝M^rN^s∣0⟩,Ers=ℏω(r+s+1),Lrs=ℏ(r−s).\boxed{|r,s\rangle\propto\hat M^r\hat N^s|0\rangle,\quad E_{rs}=\hbar\omega(r+s+1),\quad L_{rs}=\hbar(r-s).}

M^,N^\hat M,\hat N と二つの生成演算子は可逆な線形変換で結ばれるため、これらは完全な独立基底となる。

(5)​

HB=px2+py22m+m2(ω2+q2B24m2)(x2+y2)−qB2mL.\boxed{H_B=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m} +\frac m2\left(\omega^2+\frac{q^2B^2}{4m^2}\right)(x^2+y^2)-\frac{qB}{2m}L.}

(6)​

Ω=ω2+(qB/2m)2\Omega=\sqrt{\omega^2+(qB/2m)^2} とし、周波数 Ω\Omega の円偏光生成演算子で対角化すれば

Ers(B)=ℏΩ(r+s+1)−qBℏ2m(r−s),r,s=0,1,….\boxed{E_{rs}(B)=\hbar\Omega(r+s+1)-\frac{qB\hbar}{2m}(r-s),\quad r,s=0,1,\ldots.}

ここで Ω>∣qB/(2m)∣\Omega>|qB/(2m)| であり、スペクトルは下に有界である。

(7)​

元の殻では r+s=D−1r+s=D-1。qB>0qB>0 で低い順の角運動量は ℏ(D−1),ℏ(D−3),…\hbar(D-1),\hbar(D-3),\ldots。従って

En,D(B)=nDℏω2+(qB2m)2−qBℏ2mn(D−n).\boxed{E_{n,D}(B)=nD\hbar\sqrt{\omega^2+\left(\frac{qB}{2m}\right)^2} -\frac{qB\hbar}{2m}n(D-n).}

(8)​

En,D(B)=nDℏω−qℏ2mn(D−n)B+nDℏq28m2ωB2+O(B4).E_{n,D}(B)=nD\hbar\omega-\frac{q\hbar}{2m}n(D-n)B +\frac{nD\hbar q^2}{8m^2\omega}B^2+O(B^4).

満殻 n=Dn=D は原点で水平な接線を持ち二次で増大する。未満殻では右側の傾きが負で、まず減少する。どちらも B≥0B\ge0 側で上に凸である。

殻エネルギーの磁場依存性

Reference​

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