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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2022年度 II-2-AB

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

II-2A（量子力学）​

λ>0\lambda>0 の一次元引力デルタポテンシャル

[−ℏ22md2dx2−λδ(x)]ϕ=Eϕ\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}-\lambda\delta(x)\right]\phi=E\phi

を考える。

  1. ϕ\phi は原点で連続であるとして、傾きの跳びが ϕ′(0+)−ϕ′(0−)=−2mλϕ(0)/ℏ2\phi'(0^+)-\phi'(0^-)=-2m\lambda\phi(0)/\hbar^2 であることを示せ。
  2. E<0E<0 の束縛状態について、κ=−2mE/ℏ2\kappa=\sqrt{-2mE/\hbar^2} を用いて x<0,x>0x<0,x>0 の波動関数を書け。規格化は不要。
  3. κ\kappa と束縛エネルギーを求めよ。
  4. E>0E>0 の左からの入射で、ϕ=eikx+Ae−ikx\phi=e^{ikx}+Ae^{-ikx}（x<0x<0）、ϕ=Beikx\phi=Be^{ikx}（x>0x>0）とする。EE を kk で表せ。
  5. 接続条件から A,BA,B を求めよ。
  6. 反射確率 R=∣A∣2R=|A|^2、透過確率 T=∣B∣2T=|B|^2 を kk の実関数で表せ。

II-2B（実験）​

光源は単位時間あたり pallp_{\rm all} 個の光子を等方的に放出する。減衰はなく、立体角 SS の検出器への入射率は p=pallS/(4π)p=p_{\rm all}S/(4\pi)。時間 tt に入射する光子数 kk は

P(k,t)=e−pt(pt)k/k!P(k,t)=e^{-pt}(pt)^k/k!

に従う。各問は導出も示せ。

  1. 期待値が ptpt となることを示せ。
  2. 図1(a) の検出器で、図1(b) のように時間分解能 Δt\Delta t ごとに光子の有無を測定する。全時間 TT で N=T/ΔtN=T/\Delta t 回の独立測定を行うとき、総カウント数の期待値 N0N_0 を求めよ。
  3. TT 一定で Δt→0\Delta t\to0 の N0N_0 を求めよ。
  4. 検出器を遠ざけ、立体角を S/2S/2 にした測定の期待値を N1N_1 とする。pΔt≪1p\Delta t\ll1 として、N0,N1N_0,N_1 を Δt\Delta t の一次まで求めよ。
  5. その結果から p,Δtp,\Delta t を T,N0,N1T,N_0,N_1 で表せ。

II-2B 図1：光子検出器と時間分解能

题目描述​

II-2A：一维势 −λδ(x)-\lambda\delta(x)（λ>0\lambda>0）。

  1. 对原点附近积分，导出波函数导数跳跃条件。
  2. 用 κ=−2mE/ℏ2\kappa=\sqrt{-2mE/\hbar^2} 写出负能束缚态在左右两侧的波函数。
  3. 求衰减常数与束缚能量。
  4. 正能散射态为左侧 eikx+Ae−ikxe^{ikx}+Ae^{-ikx}、右侧 BeikxBe^{ikx}，求能量与 kk 的关系。
  5. 求反射、透射振幅。
  6. 求反射、透射概率。

II-2B：各向同性光源的总发射率为 pallp_{\rm all}，探测器张立体角 SS、入射率 p=pallS/(4π)p=p_{\rm all}S/(4\pi)，无传播衰减，计数服从均值 ptpt 的泊松分布。

  1. 从分布求平均光子数。
  2. 按上图1(a)(b) 的计数规则和时间分辨率 Δt\Delta t，进行 T/ΔtT/\Delta t 次独立测量，求总计数期望。
  3. 求固定 TT 下 Δt→0\Delta t\to0 的极限。
  4. 将立体角减半进行同样观测，分别求原计数期望 N0N_0 和新计数期望 N1N_1 到 Δt\Delta t 一阶。
  5. 用 T,N0,N1T,N_0,N_1 反解 p,Δtp,\Delta t。

Kai​

II-2A​

(1)​

[−η,η][-\eta,\eta] で積分し η↓0\eta\downarrow0 とすると、有限な EϕE\phi の積分は消え

−ℏ22m[ϕ′(0+)−ϕ′(0−)]−λϕ(0)=0.-\frac{\hbar^2}{2m}[\phi'(0^+)-\phi'(0^-)]-\lambda\phi(0)=0.

これを整理すれば題意の跳びを得る。

(2)​

無限遠での減衰と原点での連続性より ϕ(x)=Ce−κ∣x∣\boxed{\phi(x)=C e^{-\kappa|x|}}。

(3)​

−2κC=−2mλC/ℏ2-2\kappa C=-2m\lambda C/\hbar^2 なので

κ=mλℏ2,E=−mλ22ℏ2.\boxed{\kappa=\frac{m\lambda}{\hbar^2},\qquad E=-\frac{m\lambda^2}{2\hbar^2}.}

(4)​

原点外で自由粒子なので E=ℏ2k2/(2m)\boxed{E=\hbar^2k^2/(2m)}（k>0k>0）。

(5)​

γ=mλ/ℏ2>0\gamma=m\lambda/\hbar^2>0 とおく。1+A=B1+A=B、ikB−ik(1−A)=−2γBikB-ik(1-A)=-2\gamma B より

A=−γγ+ik=iγk−iγ,B=ikγ+ik=kk−iγ.\boxed{A=-\frac{\gamma}{\gamma+ik}=\frac{i\gamma}{k-i\gamma},\qquad B=\frac{ik}{\gamma+ik}=\frac{k}{k-i\gamma}.}

(6)​

左右で群速度の大きさが同じなので

R=γ2k2+γ2,T=k2k2+γ2,R+T=1.\boxed{R=\frac{\gamma^2}{k^2+\gamma^2},\qquad T=\frac{k^2}{k^2+\gamma^2},\qquad R+T=1.}

II-2B​

(1)​

⟨k⟩=e−pt∑k=1∞k(pt)kk!=pt e−pt∑j=0∞(pt)jj!=pt.\langle k\rangle=e^{-pt}\sum_{k=1}^\infty\frac{k(pt)^k}{k!} =pt\,e^{-pt}\sum_{j=0}^\infty\frac{(pt)^j}{j!}=\boxed{pt}.

(2)​

一回の検出確率は 1−P(0,Δt)=1−e−pΔt1-P(0,\Delta t)=1-e^{-p\Delta t}。従って

N0=TΔt(1−e−pΔt).\boxed{N_0=\frac T{\Delta t}(1-e^{-p\Delta t}).}

(3)​

1−e−pΔt=pΔt+O(Δt2)1-e^{-p\Delta t}=p\Delta t+O(\Delta t^2) より lim⁡Δt→0N0=pT\boxed{\lim_{\Delta t\to0}N_0=pT}。

(4)​

立体角を半分にすると入射率も p/2p/2 となる。

N0=pT−12p2TΔt+O(Δt2),N1=12pT−18p2TΔt+O(Δt2).\boxed{N_0=pT-\frac12p^2T\Delta t+O(\Delta t^2),\qquad N_1=\frac12pT-\frac18p^2T\Delta t+O(\Delta t^2).}

(5)​

一次近似で 4N1−N0=pT4N_1-N_0=pT、2N1−N0=p2TΔt/42N_1-N_0=p^2T\Delta t/4。従って

p≃4N1−N0T,Δt≃4T(2N1−N0)(4N1−N0)2.\boxed{p\simeq\frac{4N_1-N_0}{T},\qquad \Delta t\simeq\frac{4T(2N_1-N_0)}{(4N_1-N_0)^2}.}

これらは期待値に対する一次近似の反演式である。p>0p>0 の場合を考え、4N1>N04N_1>N_0、2N1≥N02N_1\ge N_0、得られた pΔt≪1p\Delta t\ll1 を満たす領域で用いる。全放射率が必要なら pall=4πp/Sp_{\rm all}=4\pi p/S。

Reference​

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