京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2021年8月実施 I-3 (AB)

Author

Miyake

Description

I-3A (力学)

慣性系 に対して一定角速度 で回転する系 ′ を考える． 回転系 で見た時間微分は で表すことにする． 回転系 で静止しているベクトル の慣性系における時間変化は であり， 回転系から見た時間変化 もゼロでない場合には となる． これは一般のベクトルに対して成立し，位置ベクトル に関しても，

である．

(1) 式 () を慣性系でさらに時間微分して，慣性系での加速度 と， 一定角速度 で回転する回転系 から見た時の加速度 ，速度 の関係式を表せ． どの項がコリオリの力に相当し，どの項が遠心力に相当するか書け．

(2) 質量 , 電荷 を持つ荷電粒子が，中心力 の作用を受けて運動している．

この系に，一様な弱い磁場（磁束密度がどこでも ）を加えた時の運動を 考える．磁場方向の単位ベクトルを として，力の中心のまわりに で回転する回転系から見た運動方程式を書け．

(3) 回転系から見た速度と磁場による力と，コリオリの力とが打ち消し合うため には， はどうであれば良いか．, , で表せ．

I-3B (熱力学)

シュテファン・ボルツマンの法則を，熱力学的考察から求めたい．

(1) 気体の内部エネルギー （ はエントロピー， は体積）の全微分 を，温度 と圧力 も用いて表せ．また，気体の自由エネルギー に関して， として，全微分 を表せ．

(2) 気体の温度 と体積 の関数としての内部エネルギー の全微分 を考えることで， を，温度 と圧力 を用いて表せ．

(3) 光子気体の圧力 は，エネルギー密度 すなわち単位体積当たりの内部エネルギー の に等しく， である． このことから，熱放射場のエネルギー密度 が温度 の何乗に比例するか求めよ．導出過程を簡潔に示すこと．

Kai

I-3A (力学)

(1)

最後の表式の第2項がコリオリの力に相当し、第3項が遠心力に相当する。

(2)

とする。 慣性系 での運動方程式は

なので、 (1) より、回転系 での運動方程式は次のようになる：

(3)

求める条件は、

である。

I-3B (熱力学)

(1)

(2)

(3)

(2) で得た式に

を代入すると、

となるので、 は の4乗に比例することがわかる。