跳到主要内容

京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2021年8月実施 I-3 (AB)

标签：

Author​

Miyake

Description​

I-3A (力学)​

慣性系 SS に対して一定角速度 ω⃗\vec{\omega} で回転する系 S′S' ′ を考える． 回転系 S′S' で見た時間微分は d′dt\frac{d'}{dt} で表すことにする． 回転系 S′S' で静止しているベクトル A⃗\vec{A} の慣性系における時間変化は dA⃗dt=ω⃗×A⃗\frac{d\vec{A}}{dt} = \vec{\omega}\times \vec{A} であり， 回転系から見た時間変化 d′A⃗dt\frac{d'\vec{A}}{dt} もゼロでない場合には dA⃗dt=d′A⃗dt+ω⃗×A⃗\frac{d\vec{A}}{dt} = \frac{d'\vec{A}}{dt} + \vec{\omega}\times \vec{A} となる． これは一般のベクトルに対して成立し，位置ベクトル r⃗\vec{r} に関しても，

dr⃗dt=d′r⃗dt+ω⃗×r⃗(A)\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d'\vec{r}}{dt} + \vec{\omega}\times \vec{r} \tag{A}

である．

(1) 式 (AA) を慣性系でさらに時間微分して，慣性系での加速度 d2r⃗dt2\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} と， 一定角速度 ω⃗\vec{\omega} で回転する回転系 S′S' から見た時の加速度 d′2r⃗dt2\frac{d'^2 \vec{r}}{dt^2}，速度 d′r⃗dt\frac{d' \vec{r}}{dt} の関係式を表せ． どの項がコリオリの力に相当し，どの項が遠心力に相当するか書け．

(2) 質量 mm, 電荷 qq を持つ荷電粒子が，中心力 F⃗(r⃗)\vec{F}(\vec{r}) の作用を受けて運動している．

md2r⃗dt2=F⃗(r⃗)(B)m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = \vec{F}(\vec{r}) \tag{B}

この系に，一様な弱い磁場（磁束密度がどこでも B⃗\vec{B} ）を加えた時の運動を 考える．磁場方向の単位ベクトルを k⃗\vec{k} として，力の中心のまわりに ω⃗=ωk⃗\vec{\omega} = \omega \vec{k} で回転する回転系から見た運動方程式を書け．

(3) 回転系から見た速度と磁場による力と，コリオリの力とが打ち消し合うため には，ω⃗\vec{\omega} はどうであれば良いか．mm, qq, B⃗\vec{B} で表せ．

I-3B (熱力学)​

シュテファン・ボルツマンの法則を，熱力学的考察から求めたい．

(1) 気体の内部エネルギー U(S,V)U(S, V)（SS はエントロピー，VV は体積）の全微分 dUdU を，温度 TT と圧力 pp も用いて表せ．また，気体の自由エネルギー F=U−TSF = U − TS に関して，F(T,V)F(T, V) として，全微分 dFdF を表せ．

(2) 気体の温度 TT と体積 VV の関数としての内部エネルギー U(T,V)U(T, V ) の全微分 dUdU を考えることで，(∂U∂V)T\big(\frac{\partial U}{\partial V} \big)_T を，温度 TT と圧力 pp を用いて表せ．

(3) 光子気体の圧力 pp は，エネルギー密度 u~\tilde{u} すなわち単位体積当たりの内部エネルギー UV\frac{U}{V} の 13\frac{1}{3} に等しく，p=13UV=13u~p = \frac{1}{3} \frac{U}{V} = \frac{1}{3} \tilde{u} である． このことから，熱放射場のエネルギー密度 u~\tilde{u} が温度 TT の何乗に比例するか求めよ．導出過程を簡潔に示すこと．

Kai​

I-3A (力学)​

(1)​

d2r⃗dt2=ddtdr⃗dt=d′dtdr⃗dt+ω⃗×dr⃗dt=d′dt(d′r⃗dt+ω⃗×r⃗)+ω⃗×(d′r⃗dt+ω⃗×r⃗)=d′2r⃗dt2+2ω⃗×d′r⃗dt+ω⃗×(ω⃗×r⃗)\begin{aligned} \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} &= \frac{d}{dt} \frac{d \vec{r}}{dt} \\ &= \frac{d'}{dt} \frac{d \vec{r}}{dt} + \vec{\omega} \times \frac{d \vec{r}}{dt} \\ &= \frac{d'}{dt} \left( \frac{d' \vec{r}}{dt} + \vec{\omega} \times \vec{r} \right) + \vec{\omega} \times \left( \frac{d' \vec{r}}{dt} + \vec{\omega} \times \vec{r} \right) \\ &= \frac{d'^2 \vec{r}}{dt^2} + 2 \vec{\omega} \times \frac{d' \vec{r}}{dt} + \vec{\omega} \times \left( \vec{\omega} \times \vec{r} \right) \end{aligned}

最後の表式の第2項がコリオリの力に相当し、第3項が遠心力に相当する。

(2)​

B=∣B⃗∣B = |\vec{B}| とする。 慣性系 SS での運動方程式は

md2r⃗dt2=F⃗(r⃗)+qdr⃗dt×B⃗\begin{aligned} m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = \vec{F} \left( \vec{r} \right) + q \frac{d \vec{r}}{dt} \times \vec{B} \end{aligned}

なので、 (1) より、回転系 S′S' での運動方程式は次のようになる：

m(d′2r⃗dt2+2ωk⃗×d′r⃗dt+ω2k⃗×(k⃗×r⃗))=F⃗(r⃗)+qB(d′r⃗dt+ωk⃗×r⃗)×k⃗∴  md2r⃗dt2=F⃗(r⃗)+(qB+2mω)d′r⃗dt×k⃗−(qBω+mω2)k⃗×(k⃗×r⃗)\begin{aligned} m \left( \frac{d'^2 \vec{r}}{dt^2} + 2 \omega \vec{k} \times \frac{d' \vec{r}}{dt} + \omega^2 \vec{k} \times \left( \vec{k} \times \vec{r} \right) \right) = \vec{F} \left( \vec{r} \right) + qB \left( \frac{d' \vec{r}}{dt} + \omega \vec{k} \times \vec{r} \right) \times \vec{k} \\ \therefore \ \ m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = \vec{F} \left( \vec{r} \right) + (qB+2m \omega) \frac{d' \vec{r}}{dt} \times \vec{k} - (qB \omega + m \omega^2 ) \vec{k} \times \left( \vec{k} \times \vec{r} \right) \end{aligned}

(3)​

求める条件は、

ω=−qB2m∴  ω⃗=−q2mB⃗\begin{aligned} \omega &= - \frac{qB}{2m} \\ \therefore \ \ \vec{\omega} &= - \frac{q}{2m} \vec{B} \end{aligned}

である。

I-3B (熱力学)​

(1)​

dU=TdS−pdVdF=d(U−TS)=−SdT−pdV\begin{aligned} dU &= TdS - pdV \\ dF &= d(U-TS) \\ &= -SdT - pdV \end{aligned}

(2)​

(∂U∂V)T=T(∂S∂V)T−p=−T∂2F∂V∂T−p=−T∂2F∂T∂V−p=T(∂p∂T)V−p\begin{aligned} \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T &= T \left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T - p \\ &= -T \frac{\partial^2 F}{\partial V \partial T} - p \\ &= -T \frac{\partial^2 F}{\partial T \partial V} - p \\ &= T \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_V - p \end{aligned}

(3)​

(2) で得た式に

U(T,V)=Vu~(T),  p(T,V)=13u~(T)\begin{aligned} U(T,V) = V \tilde{u}(T) , \ \ p(T,V) = \frac{1}{3} \tilde{u}(T) \end{aligned}

を代入すると、

u~(T)=T⋅13du~(T)dT−13u~(T)∴  du~u~=4TdT∴  log⁡u~=4log⁡T+C         ( C は積分定数 )=log⁡T4+C\begin{aligned} \tilde{u}(T) &= T \cdot \frac{1}{3} \frac{d \tilde{u}(T)}{dT} - \frac{1}{3} \tilde{u}(T) \\ \therefore \ \ \frac{d \tilde{u}}{\tilde{u}} &= \frac{4}{T} dT \\ \therefore \ \ \log \tilde{u} &= 4 \log T + C \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ ( $C$ は積分定数 )} \\ &= \log T^4 + C \end{aligned}

となるので、 u~\tilde{u} は TT の4乗に比例することがわかる。

本页目录