京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2021年8月実施 I-3 (AB)
Author
Miyake
Description
I-3A (力学)
慣性系 に対して一定角速度 で回転する系 ′ を考える．
回転系 で見た時間微分は で表すことにする．
回転系 で静止しているベクトル の慣性系における時間変化は であり，
回転系から見た時間変化 もゼロでない場合には となる．
これは一般のベクトルに対して成立し，位置ベクトル に関しても，
である．
(1) 式 () を慣性系でさらに時間微分して，慣性系での加速度 と，
一定角速度 で回転する回転系 から見た時の加速度 ，速度 の関係式を表せ．
どの項がコリオリの力に相当し，どの項が遠心力に相当するか書け．
(2) 質量 , 電荷 を持つ荷電粒子が，中心力 の作用を受けて運動している．
この系に，一様な弱い磁場（磁束密度がどこでも ）を加えた時の運動を
考える．磁場方向の単位ベクトルを として，力の中心のまわりに
で回転する回転系から見た運動方程式を書け．
(3) 回転系から見た速度と磁場による力と，コリオリの力とが打ち消し合うため
には， はどうであれば良いか．, , で表せ．
I-3B (熱力学)
シュテファン・ボルツマンの法則を，熱力学的考察から求めたい．
(1) 気体の内部エネルギー （ はエントロピー， は体積）の全微分
を，温度 と圧力 も用いて表せ．また，気体の自由エネルギー
に関して， として，全微分 を表せ．
(2) 気体の温度 と体積 の関数としての内部エネルギー の全微分
を考えることで， を，温度 と圧力 を用いて表せ．
(3) 光子気体の圧力 は，エネルギー密度 すなわち単位体積当たりの内部エネルギー の に等しく， である．
このことから，熱放射場のエネルギー密度 が温度 の何乗に比例するか求めよ．導出過程を簡潔に示すこと．
Kai
I-3A (力学)
(1)
最後の表式の第2項がコリオリの力に相当し、第3項が遠心力に相当する。
(2)
とする。
慣性系 での運動方程式は
なので、 (1) より、回転系 での運動方程式は次のようになる：
(3)
求める条件は、
である。
I-3B (熱力学)
(1)
(2)
(3)
(2) で得た式に
を代入すると、
となるので、 は の4乗に比例することがわかる。