京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2021年8月実施 I-3 (AB)

标签：

• Kyoto-University
• Rotating-Frame-Coriolis-and-Centrifugal-Forces
• Larmor-Theorem
• Helmholtz-Free-Energy-Differential
• Photon-Gas-and-Stefan-Boltzmann-Law

Author

Miyake

Description

I-3A (力学)

慣性系 $S$ に対して一定角速度 $\vec{\omega}$ で回転する系 $S'$ ′ を考える． 回転系 $S'$ で見た時間微分は $\frac{d'}{dt}$ で表すことにする． 回転系 $S'$ で静止しているベクトル $\vec{A}$ の慣性系における時間変化は $\frac{d\vec{A}}{dt} = \vec{\omega}\times \vec{A}$ であり， 回転系から見た時間変化 $\frac{d'\vec{A}}{dt}$ もゼロでない場合には $\frac{d\vec{A}}{dt} = \frac{d'\vec{A}}{dt} + \vec{\omega}\times \vec{A}$ となる． これは一般のベクトルに対して成立し，位置ベクトル $\vec{r}$ に関しても，

$$\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d'\vec{r}}{dt} + \vec{\omega}\times \vec{r} \tag{A}$$

である．

(1) 式 ($A$) を慣性系でさらに時間微分して，慣性系での加速度 $\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}$ と， 一定角速度 $\vec{\omega}$ で回転する回転系 $S'$ から見た時の加速度 $\frac{d'^2 \vec{r}}{dt^2}$，速度 $\frac{d' \vec{r}}{dt}$ の関係式を表せ． どの項がコリオリの力に相当し，どの項が遠心力に相当するか書け．

(2) 質量 $m$, 電荷 $q$ を持つ荷電粒子が，中心力 $\vec{F}(\vec{r})$ の作用を受けて運動している．

$$m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = \vec{F}(\vec{r}) \tag{B}$$

この系に，一様な弱い磁場（磁束密度がどこでも $\vec{B}$ ）を加えた時の運動を 考える．磁場方向の単位ベクトルを $\vec{k}$ として，力の中心のまわりに $\vec{\omega} = \omega \vec{k}$ で回転する回転系から見た運動方程式を書け．

(3) 回転系から見た速度と磁場による力と，コリオリの力とが打ち消し合うため には，$\vec{\omega}$ はどうであれば良いか．$m$, $q$, $\vec{B}$ で表せ．

I-3B (熱力学)

シュテファン・ボルツマンの法則を，熱力学的考察から求めたい．

(1) 気体の内部エネルギー $U(S, V)$（$S$ はエントロピー，$V$ は体積）の全微分 $dU$ を，温度 $T$ と圧力 $p$ も用いて表せ．また，気体の自由エネルギー $F = U − TS$ に関して，$F(T, V)$ として，全微分 $dF$ を表せ．

(2) 気体の温度 $T$ と体積 $V$ の関数としての内部エネルギー $U(T, V )$ の全微分 $dU$ を考えることで，$\big(\frac{\partial U}{\partial V} \big)_T$ を，温度 $T$ と圧力 $p$ を用いて表せ．

(3) 光子気体の圧力 $p$ は，エネルギー密度 $\tilde{u}$ すなわち単位体積当たりの内部エネルギー $\frac{U}{V}$ の $\frac{1}{3}$ に等しく，$p = \frac{1}{3} \frac{U}{V} = \frac{1}{3} \tilde{u}$ である． このことから，熱放射場のエネルギー密度 $\tilde{u}$ が温度 $T$ の何乗に比例するか求めよ．導出過程を簡潔に示すこと．

题目描述

I-3A（力学）

考虑相对惯性系 $S$ 以恒定角速度 $\vec\omega$ 转动的参考系 $S'$，在旋转系中观察到的时间导数记作 $\frac{d'}{dt}$。若向量 $\vec A$ 在 $S'$ 中静止，则其在惯性系中的变化为

$$\frac{d\vec A}{dt}=\vec\omega\times\vec A.$$

一般地，若 $\frac{d'\vec A}{dt}$ 也不为零，则

$$\frac{d\vec A}{dt} =\frac{d'\vec A}{dt} +\vec\omega\times\vec A.$$

该式适用于任意向量，特别地，对位置向量 $\vec r$ 有

$$\frac{d\vec r}{dt} =\frac{d'\vec r}{dt} +\vec\omega\times\vec r. \tag{A}$$

1. 在惯性系中再对式（A）求时间导数，写出惯性系加速度 $\frac{d^2\vec r}{dt^2}$ 与恒角速度旋转系 $S'$ 中的加速度 $\frac{d'^2\vec r}{dt^2}$、速度 $\frac{d'\vec r}{dt}$ 之间的关系。指出哪些项对应 Coriolis 力，哪些项对应离心力。

2. 质量为 $m$、电荷为 $q$ 的带电粒子在中心力 $\vec F(\vec r)$ 作用下运动：

   $$m\frac{d^2\vec r}{dt^2}=\vec F(\vec r). \tag{B}$$

   现加入磁感应强度处处为 $\vec B$ 的均匀弱磁场。令 $\vec k$ 为磁场方向单位向量，在绕力心以

   $$\vec\omega=\omega\vec k$$

   转动的参考系中写出运动方程。

3. 为使旋转系速度相关的磁力与 Coriolis 力相互抵消，$\vec\omega$ 应取何值？用 $m,q,\vec B$ 表示。

I-3B（热力学）

通过热力学推导 Stefan–Boltzmann 定律。

1. 对以熵 $S$、体积 $V$ 为变量的气体内能 $U(S,V)$，用温度 $T$ 和压强 $p$ 写出全微分 $dU$。再对 Helmholtz 自由能

   $$F=U-TS$$

   视作 $F(T,V)$，写出 $dF$。

2. 把内能视为温度和体积的函数 $U(T,V)$，通过考察其全微分，用 $T,p$ 表示

   $$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T.$$

3. 光子气体的压强等于能量密度 $\tilde u=U/V$ 的三分之一：

   $$p=\frac13\frac UV=\frac13\tilde u.$$

   由此求热辐射场能量密度 $\tilde u$ 与温度 $T$ 的多少次幂成正比，并简要写出推导。

Kai

I-3A (力学)

(1)

$$\begin{aligned} \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} &= \frac{d}{dt} \frac{d \vec{r}}{dt} \\ &= \frac{d'}{dt} \frac{d \vec{r}}{dt} + \vec{\omega} \times \frac{d \vec{r}}{dt} \\ &= \frac{d'}{dt} \left( \frac{d' \vec{r}}{dt} + \vec{\omega} \times \vec{r} \right) + \vec{\omega} \times \left( \frac{d' \vec{r}}{dt} + \vec{\omega} \times \vec{r} \right) \\ &= \frac{d'^2 \vec{r}}{dt^2} + 2 \vec{\omega} \times \frac{d' \vec{r}}{dt} + \vec{\omega} \times \left( \vec{\omega} \times \vec{r} \right) \end{aligned}$$

最後の表式の第2項がコリオリの力に相当し、第3項が遠心力に相当する。

(2)

$B = |\vec{B}|$ とする。 慣性系 $S$ での運動方程式は

$$\begin{aligned} m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = \vec{F} \left( \vec{r} \right) + q \frac{d \vec{r}}{dt} \times \vec{B} \end{aligned}$$

なので、 (1) より、回転系 $S'$ での運動方程式は次のようになる：

$$\begin{aligned} m \left( \frac{d'^2 \vec{r}}{dt^2} + 2 \omega \vec{k} \times \frac{d' \vec{r}}{dt} + \omega^2 \vec{k} \times \left( \vec{k} \times \vec{r} \right) \right) = \vec{F} \left( \vec{r} \right) + qB \left( \frac{d' \vec{r}}{dt} + \omega \vec{k} \times \vec{r} \right) \times \vec{k} \\ \therefore \ \ m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = \vec{F} \left( \vec{r} \right) + (qB+2m \omega) \frac{d' \vec{r}}{dt} \times \vec{k} - (qB \omega + m \omega^2 ) \vec{k} \times \left( \vec{k} \times \vec{r} \right) \end{aligned}$$

(3)

求める条件は、

$$\begin{aligned} \omega &= - \frac{qB}{2m} \\ \therefore \ \ \vec{\omega} &= - \frac{q}{2m} \vec{B} \end{aligned}$$

である。

I-3B (熱力学)

(1)

$$\begin{aligned} dU &= TdS - pdV \\ dF &= d(U-TS) \\ &= -SdT - pdV \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T &= T \left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T - p \\ &= -T \frac{\partial^2 F}{\partial V \partial T} - p \\ &= -T \frac{\partial^2 F}{\partial T \partial V} - p \\ &= T \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_V - p \end{aligned}$$

(3)

(2) で得た式に

$$\begin{aligned} U(T,V) = V \tilde{u}(T) , \ \ p(T,V) = \frac{1}{3} \tilde{u}(T) \end{aligned}$$

を代入すると、

$$\begin{aligned} \tilde{u}(T) &= T \cdot \frac{1}{3} \frac{d \tilde{u}(T)}{dT} - \frac{1}{3} \tilde{u}(T) \\ \therefore \ \ \frac{d \tilde{u}}{\tilde{u}} &= \frac{4}{T} dT \\ \therefore \ \ \log \tilde{u} &= 4 \log T + C \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ ( $C$ は積分定数 )} \\ &= \log T^4 + C \end{aligned}$$

となるので、 $\tilde{u}$ は $T$ の4乗に比例することがわかる。