京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2021年8月実施 II-2C

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• Kyoto-University
• Lagrangian-Mechanics
• Normal-Modes-and-Coupled-Oscillators
• Beats-in-Coupled-Oscillators

Author

Miyake

Description

図 1 のように，質量 $m$ の質点が長さ $l$ の太さと質量の無視できる剛体棒でつるされた振り子 $1$ と振り子 $2$ があり，鉛直下向き方向をむいた一様な重力（重力加速度 $g$）の下で運動する． 二つの振り子の支点はある水平な軸上にあり，両振り子はその軸に垂直な面内で運動する． 鉛直下向き方向と振り子の棒のなす角度を図に示すように $\theta_1$, $\theta_2$ とする． さらに，二つの振り子の支点同士はねじれ変形が可能な棒でつながれており，$\theta_1$ と $\theta_2$ の差に応じたエネルギー $k(\theta_1 - \theta_2)^2/2$（$k$ は正の定数）が生じる． また，以下では微小振動 $|\theta_i| \ll 1 \ (i = 1,2)$ の場合を考え，摩擦や空気抵抗などは無視できるとする．

(1) この系の運動エネルギー $T$，ポテンシャルエネルギー $U$，ラグランジアン $L = T − U$ を，$\theta_i$ およびそれらの時間微分 $\dot{\theta}_i$ の $2$ 次までで求めよ． なお，位置エネルギーに関しては，$\theta_1 = \theta_2 = 0$ のときを基準とせよ．

(2) $\theta_1$ および $\theta_2$ の微小振動の微分方程式が

$$\begin{pmatrix} \ddot{\theta}_1 \\ \ddot{\theta}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix}$$

と書けることを示し，定数 $A$，$B$，$C$，$D$ を $g$, $k$, $l$, $m$ を用いて表せ．

(3) $\theta_1(t) = Q_1 \sin(\omega t + \delta_1)$, $\theta_2 (t) = Q_2 \sin(\omega t + \delta_2)$（$Q_i$ および $\delta_i \ (i = 1,2)$ はいずれも定数）の形の解を仮定することで，この系の二つの固有角振動数 $\omega_+$ と $\omega_-$（ただし $\omega_+ > \omega_- > 0$ とする）を求め，$g$，$k$，$l$，$m$ を用いて表せ．

(4) それぞれの固有角振動数の解について，振幅 $Q_i$ と位相 $\delta_i$ の満たすべき条件を求めよ． さらに，$\theta_1 (t)$ と $\theta_2 (t)$ の一般解を，$\omega_+$ と $\omega_-$ および適切に導入した任意定数を用いて表せ．

(5) 振り子 $1$ と $2$ が共に $\theta_1 = \theta_2 = 0$ で静止している状態から，時刻 $t = 0$ で振り子 $1$ に角速度 $\Omega_0 \ (0 < \Omega_0 \ll \omega_-)$ を与えた． この場合の $t > 0$ での $\theta_1$ と $\theta_2$ の時間依存性を，$\omega_+$, $\omega_-$, $\Omega_0$ を用いて表せ． さらに，$\omega_+$ と $\omega_-$ の大きさが近い場合の $\theta_1$ と $\theta_2$ の時間依存性の特徴を簡潔に述べよ．

题目描述

如图 1，有两个摆。每个摆由质量为 $m$ 的质点和长度为 $l$、粗细及质量均可忽略的刚性杆组成，在竖直向下、重力加速度为 $g$ 的均匀重力场中运动。两个支点位于同一水平轴上，两摆都在垂直于该轴的平面内运动。摆杆与竖直向下方向的夹角分别为 $\theta_1,\theta_2$。

两支点还由一根可发生扭转变形的杆连接，并产生势能

$$\frac{k}{2}(\theta_1-\theta_2)^2,$$

其中 $k>0$。以下只考虑 $|\theta_i|\ll1$（$i=1,2$）的小振动，并忽略摩擦和空气阻力。

1. 把系统的动能 $T$、势能 $U$ 和 Lagrangian $L=T-U$ 展开到 $\theta_i$ 及其时间导数 $\dot\theta_i$ 的二阶。势能以 $\theta_1=\theta_2=0$ 时为零点。

2. 证明小振动方程可写为

   $$\begin{pmatrix} \ddot\theta_1\\ \ddot\theta_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A&B\\C&D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \theta_1\\ \theta_2 \end{pmatrix},$$

   并用 $g,k,l,m$ 表示常数 $A,B,C,D$。

3. 假设存在形如

   $$\theta_1(t)=Q_1\sin(\omega t+\delta_1),\qquad \theta_2(t)=Q_2\sin(\omega t+\delta_2)$$

   的解，其中 $Q_i,\delta_i$ 均为常数。求系统的两个固有角频率 $\omega_+,\omega_-$，其中 $\omega_+>\omega_->0$，并用 $g,k,l,m$ 表示。

4. 对每个固有角频率对应的解，求振幅 $Q_i$ 和相位 $\delta_i$ 应满足的条件。再用 $\omega_+,\omega_-$ 和适当引入的任意常数写出 $\theta_1(t),\theta_2(t)$ 的通解。

5. 两摆最初都静止在 $\theta_1=\theta_2=0$。在 $t=0$ 时只给摆 1 一个角速度 $\Omega_0$，其中

   $$0<\Omega_0\ll\omega_-.$$

   用 $\omega_+,\omega_-,\Omega_0$ 表示 $t>0$ 时 $\theta_1,\theta_2$ 的时间依赖；并简要说明当 $\omega_+,\omega_-$ 很接近时两者运动的特征。

考点

• 小振动 Lagrangian：对重力势能和耦合扭转势能作二阶展开并建立 Euler–Lagrange 方程。
• 耦合振子的正规模：求动力矩阵的特征值、固有频率及同相/反相特征向量。
• 一般解与初值问题：把运动分解为两个正规模并由初始条件确定系数。
• 拍频与能量交换：解释两个近邻固有频率叠加导致的缓慢包络和摆间能量转移。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} T &= \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}_2^2 \\ U &= mgl (1 - \cos \theta_1) + mgl (1 - \cos \theta_2) + \frac{1}{2} k (\theta_1 - \theta_2)^2 \\ &\simeq \frac{1}{2} mgl \theta_1^2 + \frac{1}{2} mgl \theta_2^2 + \frac{1}{2} k (\theta_1 - \theta_2)^2 \\ &= \frac{1}{2} (mgl+k) \left( \theta_1^2 + \theta_2^2 \right) - k \theta_1 \theta_2 \\ L &= T - U \\ &= \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}_2^2 - \frac{1}{2} (mgl+k) \left( \theta_1^2 + \theta_2^2 \right) + k \theta_1 \theta_2 \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_1} &= \frac{d}{dt} ml^2 \dot{\theta}_1 = ml^2 \ddot{\theta}_1 \\ \frac{\partial L}{\partial \theta_1} &= -(mgl+k) \theta_1 + k \theta_2 \\ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_2} &= \frac{d}{dt} ml^2 \dot{\theta}_2 = ml^2 \ddot{\theta}_2 \\ \frac{\partial L}{\partial \theta_2} &= -(mgl+k) \theta_2 + k \theta_1 \end{aligned}$$

であるから、$\theta_1, \theta_2$ に関するオイラー-ラグランジュの方程式より、

$$\begin{aligned} ml^2 \begin{pmatrix} \ddot{\theta}_1 \\ \ddot{\theta}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -(mgl+k) & k \\ k & -(mgl+k) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} A = - \frac{mgl+k}{ml^2} , \ \ B = \frac{k}{ml^2} , \ \ C = \frac{k}{ml^2} , \ \ D = - \frac{mgl+k}{ml^2} \end{aligned}$$

がわかる。

(3)

(2) で得た運動方程式に $\theta_1(t)=Q_1 \sin (\omega t + \delta_1), \ \theta_2(t)=Q_2 \sin (\omega t + \delta_2)$ を代入すると、

$$\begin{aligned} - \omega^2 \begin{pmatrix} Q_1 \sin (\omega t + \delta_1) \\ Q_2 \sin (\omega t + \delta_2) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Q_1 \sin (\omega t + \delta_1) \\ Q_2 \sin (\omega t + \delta_2) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}$$

となる。 $Q_1=Q_2=0$ 以外で、任意の $t$ についてこれが成り立つためには、 以下が必要である：

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} \omega^2 + A & B \\ B & \omega^2 + A \end{pmatrix} \\ &= \omega^4 + 2A \omega^2 + A^2 - B^2 \\ &= \left( \omega^2 + (A+B) \right) \left( \omega^2 + (A-B) \right) \end{aligned}$$

$0 \lt -A-B \lt -A+B$ なので、

$$\begin{aligned} \omega_- &= \sqrt{-A-B} = \sqrt{\frac{g}{l}} \\ \omega_+ &= \sqrt{-A+B} = \sqrt{\frac{mgl+2k}{ml^2}} \end{aligned}$$

を得る。

(4)

(i) $\omega = \omega_-$ の場合を考える。

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = (A+B) \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと $u=v$ を得るから、 $Q_1 \sin (\omega_- t + \delta_1) = Q_2 \sin (\omega_- t + \delta_2)$ であり、任意の $t$ についてこれが成り立つということは $Q_1 = Q_2, \ \delta_1 = \delta_2$ ということであり、 これが求める条件である。

(ii) $\omega = \omega_+$ の場合を考える。

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = (A-B) \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと $u+v=0$ を得るから、 $Q_1 \sin (\omega_- t + \delta_1) = -Q_2 \sin (\omega_- t + \delta_2)$ であり、任意の $t$ についてこれが成り立つということは $Q_1 = -Q_2, \ \delta_1 = \delta_2$ （あるいは $Q_1 = Q_2, \ |\delta_1 - \delta_2| = \pi$ ） ということであり、これが求める条件である。

(i), (ii) より、求める一般解は、 $Q_-, \delta_-, Q_+, \delta_+$ を任意定数として、

$$\begin{aligned} \theta_1(t) &= Q_- \sin (\omega_- t + \delta_-) + Q_+ \sin (\omega_+ t + \delta_+) \\ \theta_2(t) &= Q_- \sin (\omega_- t + \delta_-) - Q_+ \sin (\omega_+ t + \delta_+) \end{aligned}$$

である。 これが (2) で求めた運動方程式を満たすことを確認できる。

(5)

初期条件

$$\begin{aligned} 0 &= \theta_1(0) = Q_- \sin \delta_- + Q_+ \sin \delta_+ \\ 0 &= \theta_2(0) = Q_- \sin \delta_- - Q_+ \sin \delta_+ \\ \Omega_0 &= \dot{\theta}_1(0) = Q_- \omega_- \cos \delta_- + Q_+ \omega_+ \cos \delta_+ \\ 0 &= \dot{\theta}_2(0) = Q_- \omega_- \cos \delta_- - Q_+ \omega_+ \cos \delta_+ \end{aligned}$$

から、

$$\begin{aligned} \delta_- = \delta_+ = 0 , \ \ Q_- = \frac{\Omega_0}{2 \omega_-} , \ \ Q_+ = \frac{\Omega_0}{2 \omega_+} \end{aligned}$$

がわかるので、

$$\begin{aligned} \theta_1(t) &= \frac{\Omega_0}{2 \omega_-} \sin (\omega_- t) + \frac{\Omega_0}{2 \omega_+} \sin (\omega_+ t) \\ \theta_2(t) &= \frac{\Omega_0}{2 \omega_-} \sin (\omega_- t) - \frac{\Omega_0}{2 \omega_+} \sin (\omega_+ t) \end{aligned}$$

を得る。