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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2021年8月実施 II-1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

量子力学において同種粒子が集まった際に現れる性質を考えよう。

(1) まず、同種粒子として、相互作用していない自由ボース粒子を考える。NN 個の同一の自由ボース粒子が G0G_0 個の相異なる一粒子状態を占有するとき、その状態数 WbW_b を、N=2N=2、G0=3G_0=3 の場合について求めよ。

(2) 次に同種粒子として、相互作用していない自由フェルミ粒子を考える。NN 個の同一の自由フェルミ粒子が G0G_0 個の相異なる一粒子状態を占有するとき、その状態数 WfW_f を、N=2N=2、G0=3G_0=3 の場合について求めよ。

次に、G0G_0 個の一粒子状態からなる系に、N−1N-1 個の同種粒子が存在している状況を考える。ここにもう1つ同じ粒子を加えるとき、新たに加える粒子が占有できる一粒子状態の数 G(N)G(N) は自由ボース粒子と自由フェルミ粒子とで異なる。

(3) 自由ボース粒子では同じ状態を異なる粒子が占有することができ、そのため、G(N)G(N) は NN に依存しない。一方、自由フェルミ粒子では同じ状態を一つの粒子しか占有することができないので、G(N)G(N) は NN に依存する。自由ボース粒子および自由フェルミ粒子に対してそれぞれ G(N)G(N) を求めよ。

小問(1)および小問(2)で求めた状態数 WbW_b 及び WfW_f は、N≤G0N\le G_0 である一般の G0G_0 と NN に対して、G(N)G(N) を用いて

W(N)=[G(N)+N−1]!N![G(N)−1]!(A)W(N)=\frac{[G(N)+N-1]!}{N![G(N)-1]!}\tag{A}

の形にまとめることができる。これは「既に N−1N-1 個の粒子によって占有されていた N−1N-1 個の一粒子状態」と「NN 番目の粒子が占有することができる G(N)G(N) 個の一粒子状態」を足し合わせた G(N)+N−1G(N)+N-1 個の一粒子状態に、NN 個の粒子を分配する場合の数として状態数 W(N)W(N) を求めることができることを意味する。この性質を一般化すると、相互作用のある系に現れる自由ボース粒子と自由フェルミ粒子の中間的な性質を持つ粒子の性質を調べることが可能となる。そのような例として、以下では G(N)G(N) が

G(N)=G0−α(N−1)(B)G(N)=G_0-\alpha(N-1)\tag{B}

となり、状態数 W(N)W(N) が式(A)で与えられる同種粒子を考える。ここで α\alpha は 0≤α≤10\le\alpha\le1 を満たす有理数であり、N≤G0N\le G_0 かつ G0G_0 は十分大きいとする。

(4) この系のエントロピー SS を G0G_0 で割ったものを、ボルツマン定数 kk および占有数 n=N/G0n=N/G_0 を用いてあらわせ。ただし、G0G_0 および NN は十分大きいとして、スターリングの公式 ln⁡N!=Nln⁡(N/e)\ln N!=N\ln(N/e) を用いること。

(5) 小問(4)の系のエネルギーが ϵN\epsilon N（ϵ≥0\epsilon\ge0）で与えられるとき、化学ポテンシャルを μ\mu、温度を TT として、大きな分配関数 Θ(μ,T)\Theta(\mu,T) は

Θ(μ,T)=∑NW(N)e−(ϵ−μ)N/kT(C)\Theta(\mu,T)=\sum_N W(N)e^{-(\epsilon-\mu)N/kT}\tag{C}

で与えられる。これを

Θ(μ,T)=∑Ne−J/kT(D)\Theta(\mu,T)=\sum_N e^{-J/kT}\tag{D}

と書き直したとき、NN が十分大きい場合の J/G0J/G_0 を nn の関数の形で求めよ。

(6) 占有数 nn の平均値 ⟨n⟩\langle n\rangle は分布関数と呼ばれ、小問(5)で求めた JJ に対し、∂J/∂n=0\partial J/\partial n=0 を解くことで得ることができる。今 ww を w=⟨n⟩−1−αw=\langle n\rangle^{-1}-\alpha として、

e(ϵ−μ)/kT=f(w)(E)e^{(\epsilon-\mu)/kT}=f(w)\tag{E}

としたとき、f(w)f(w) を求めよ。

(7) α=0\alpha=0、α=1/2\alpha=1/2、α=1\alpha=1 の場合の分布関数 ⟨n⟩\langle n\rangle をそれぞれ求めよ。またどの場合がボース分布関数か、どの場合がフェルミ分布関数であるか、それぞれ答えよ。

(8) α≠0\alpha\ne0 の場合、温度 TT の関数として、分布関数 ⟨n⟩\langle n\rangle には上限値が存在する。ϵ<μ\epsilon<\mu のとき、その上限値を求めよ。

题目描述​

考虑量子力学中同种粒子聚集时呈现的性质。

(1) 首先考虑无相互作用的自由玻色子。NN 个相同的自由玻色子占据 G0G_0 个不同的单粒子态，求 N=2N=2、G0=3G_0=3 时的状态数 WbW_b。

(2) 接着考虑无相互作用的自由费米子。NN 个相同的自由费米子占据 G0G_0 个不同的单粒子态，求 N=2N=2、G0=3G_0=3 时的状态数 WfW_f。

考虑由 G0G_0 个单粒子态组成、已有 N−1N-1 个同种粒子的系统。再加入一个相同粒子时，新粒子能够占据的单粒子态数 G(N)G(N) 在自由玻色子与自由费米子的情况下不同。

(3) 自由玻色子允许不同粒子占据相同状态，因此 G(N)G(N) 与 NN 无关。而自由费米子的同一状态只能被一个粒子占据，因此 G(N)G(N) 依赖于 NN。分别求自由玻色子与自由费米子的 G(N)G(N)。

对满足 N≤G0N\le G_0 的一般 G0G_0 与 NN，小问(1)(2)的状态数 WbW_b、WfW_f 可用 G(N)G(N) 统一写成

W(N)=[G(N)+N−1]!N![G(N)−1]!.(A)W(N)=\frac{[G(N)+N-1]!}{N![G(N)-1]!}.\qquad\text{(A)}

这意味着：把“已有的 N−1N-1 个粒子占据的 N−1N-1 个单粒子态”与“第 NN 个粒子可以占据的 G(N)G(N) 个单粒子态”相加，得到 G(N)+N−1G(N)+N-1 个单粒子态；将 NN 个粒子分配到这些状态的方式数即为 W(N)W(N)。推广这一性质，可以研究有相互作用的系统中介于自由玻色子与自由费米子之间的粒子的性质。作为一个例子，以下考虑

G(N)=G0−α(N−1)(B)G(N)=G_0-\alpha(N-1)\qquad\text{(B)}

且状态数 W(N)W(N) 由式(A)给出的同种粒子。α\alpha 是满足 0≤α≤10\le\alpha\le1 的有理数，N≤G0N\le G_0，且 G0G_0 足够大。

(4) 用玻尔兹曼常数 kk 和占有数 n=N/G0n=N/G_0 表示系统的熵除以 G0G_0 所得的 S/G0S/G_0。G0G_0 和 NN 都足够大，使用斯特林公式 ln⁡N!=Nln⁡(N/e)\ln N!=N\ln(N/e)。

(5) 若小问(4)中系统的能量为 ϵN\epsilon N（ϵ≥0\epsilon\ge0），化学势为 μ\mu、温度为 TT，则巨配分函数为

Θ(μ,T)=∑NW(N)e−(ϵ−μ)N/kT.(C)\Theta(\mu,T)=\sum_N W(N)e^{-(\epsilon-\mu)N/kT}.\qquad\text{(C)}

将它改写成

Θ(μ,T)=∑Ne−J/kT(D)\Theta(\mu,T)=\sum_Ne^{-J/kT}\qquad\text{(D)}

时，求 NN 足够大时作为 nn 的函数的 J/G0J/G_0。

(6) 占有数 nn 的平均值 ⟨n⟩\langle n\rangle 称为分布函数，可通过对小问(5)求得的 JJ 解 ∂J/∂n=0\partial J/\partial n=0 得到。令 w=⟨n⟩−1−αw=\langle n\rangle^{-1}-\alpha，并写为

e(ϵ−μ)/kT=f(w).(E)e^{(\epsilon-\mu)/kT}=f(w).\qquad\text{(E)}

求 f(w)f(w)。

(7) 分别求 α=0\alpha=0、α=1/2\alpha=1/2、α=1\alpha=1 时的分布函数 ⟨n⟩\langle n\rangle，指出哪一种是玻色分布函数、哪一种是费米分布函数。

(8) 当 α≠0\alpha\ne0 时，作为温度 TT 的函数的分布函数 ⟨n⟩\langle n\rangle 存在上限。求 ϵ<μ\epsilon<\mu 时的上限值。

Kai​

(1)​

占有数組 (2,0,0)(2,0,0) の置換が三通り、(1,1,0)(1,1,0) の置換も三通りなので Wb=6\boxed{W_b=6}。

(2)​

二重占有は禁止され、Wf=(32)=3\boxed{W_f=\binom32=3}。

(3)​

Gb(N)=G0,Gf(N)=G0−(N−1).\boxed{G_b(N)=G_0,\qquad G_f(N)=G_0-(N-1).}

(4)​

a=1+(1−α)na=1+(1-\alpha)n、b=1−αnb=1-\alpha n とおく。S=kln⁡WS=k\ln W に Stirling 公式を用いると、G0ln⁡G0G_0\ln G_0 の項と線形項が相殺され

SG0=k[aln⁡a−nln⁡n−bln⁡b].\boxed{\frac S{G_0}=k\left[a\ln a-n\ln n-b\ln b\right].}

境界では 0ln⁡0=00\ln0=0 とする。

(5)​

JG0=(ϵ−μ)n−kT[aln⁡a−nln⁡n−bln⁡b].\boxed{\frac J{G_0}=(\epsilon-\mu)n-kT[a\ln a-n\ln n-b\ln b].}

(6)​

内点の停留条件は

ϵ−μkT=(1−α)ln⁡a−ln⁡n+αln⁡b.\frac{\epsilon-\mu}{kT}=(1-\alpha)\ln a-\ln n+\alpha\ln b.

a/n=1+w, b/n=wa/n=1+w,\ b/n=w より

f(w)=wα(1+w)1−α,⟨n⟩=1w+α.\boxed{f(w)=w^\alpha(1+w)^{1-\alpha},\qquad\langle n\rangle=\frac1{w+\alpha}.}

以下はこの停留方程式を、状態数が非負となる自然な範囲 0<n<1/α0<n<1/\alpha（α=0\alpha=0 では上限なし）で解いた分布である。

(7)​

z=e(ϵ−μ)/(kT)z=e^{(\epsilon-\mu)/(kT)} と書くと

α⟨n⟩01/(z−1)（ボース分布、ϵ>μ）1/21/z2+1/411/(z+1)（フェルミ分布）\boxed{\begin{array}{c|c} \alpha&\langle n\rangle\\\hline 0&1/(z-1)\quad\text{（ボース分布、}\epsilon>\mu\text{）}\\ 1/2&1/\sqrt{z^2+1/4}\\ 1&1/(z+1)\quad\text{（フェルミ分布）} \end{array}}

α=1/2\alpha=1/2 では z2=w(w+1)=(w+1/2)2−1/4z^2=w(w+1)=(w+1/2)^2-1/4 を用いた。

(8)​

0<α≤10<\alpha\le1 で ff は w>0w>0 において単調増加し、f(0)=0f(0)=0。 ϵ<μ\epsilon<\mu のもと T↓0T\downarrow0 なら z→0z\to0、従って w→0w\to0 となり

sup⁡T⟨n⟩=1α.\boxed{\sup_T\langle n\rangle=\frac1\alpha.}

有限温度では ⟨n⟩<1/α\langle n\rangle<1/\alpha。なお、原問の N≤G0N\le G_0 を大分配関数の全項にまで厳密な上限として課す解釈では、n≤1n\le1 となり、上記分布が 11 を超える領域は境界値 n=1n=1 に置き換わる。(7)(8) の通常の分布を得るには、原問で指示された内点の停留方程式を自然な占有範囲へ拡張して用いる。

Reference​

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