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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2021年度 I-2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

三次元の位置ベクトル r=(x,y,z)\mathbf r=(x,y,z)、r=∣r∣r=|\mathbf r|、動径方向の単位ベクトル er\mathbf e_r を用いる。すべて導出も示せ。

  1. ∇r=er\nabla r=\mathbf e_r を示せ。
  2. 実数 nn に対し ∇(rn)\nabla(r^n) を求めよ。
  3. 実数 ss に対し、力 F=rser\mathbf F=r^s\mathbf e_r のポテンシャル U(r)U(r) を求めよ。
  4. 原点以外で ∇⋅F=a\nabla\cdot\mathbf F=a（定数）となる ss と aa を求めよ。
  5. (4) で a=0a=0 となる場合、原点を含む ∇⋅F\nabla\cdot\mathbf F を三次元デルタ関数 δ(3)(r)\delta^{(3)}(\mathbf r) で表せ。

次に r\mathbf r を xyxy 平面内とし、er\mathbf e_r を zz 軸のまわりに π/2\pi/2 回転した単位ベクトルを eθ\mathbf e_\theta、zz 方向の単位ベクトルを ez\mathbf e_z とする。実数 uu に対し力 F=rueθ\mathbf F=r^u\mathbf e_\theta を考える。

  1. 原点以外で ∇×F=b\nabla\times\mathbf F=\mathbf b（定数ベクトル）となる u,bu,\mathbf b を求めよ。
  2. (6) で b=0\mathbf b=0 の場合、原点を含む ∇×F\nabla\times\mathbf F を二次元デルタ関数 δ(2)(r)\delta^{(2)}(\mathbf r) で表せ。

必要に応じてガウスの発散定理とストークスの定理を用いてよい。

题目描述​

三维位置 r=(x,y,z)\mathbf r=(x,y,z)，r=∣r∣r=|\mathbf r|，径向单位矢量为 er\mathbf e_r，各问均需推导。

  1. 证明 ∇r=er\nabla r=\mathbf e_r。
  2. 求实数幂 rnr^n 的梯度。
  3. 求径向力 F=rser\mathbf F=r^s\mathbf e_r 对应的势能，包括特殊指数情形。
  4. 求在原点外散度为常数 aa 的全部 s,as,a。
  5. 对 a=0a=0 的情形，用三维 delta 函数写出包含原点的散度。

再考虑 xyxy 平面的切向力 F=rueθ\mathbf F=r^u\mathbf e_\theta，其中 eθ\mathbf e_\theta 是 er\mathbf e_r 绕 zz 轴正向旋转 π/2\pi/2 所得，uu 为实数。

  1. 求在原点外旋度为常向量 b\mathbf b 的全部 u,bu,\mathbf b。
  2. 对 b=0\mathbf b=0 的情形，用二维 delta 函数写出包含原点的旋度。可使用高斯定理和斯托克斯定理。

Kai​

(1)​

r>0r>0 で ∂xr=x/r\partial_xr=x/r、他の成分も同様なので ∇r=(x,y,z)/r=er\nabla r=(x,y,z)/r=\mathbf e_r。

(2)​

連鎖律より ∇(rn)=nrn−1er\boxed{\nabla(r^n)=nr^{n-1}\mathbf e_r}（r>0r>0）。

(3)​

F=−∇U\mathbf F=-\nabla U から U′=−rsU'=-r^s。任意定数を CC とすると

U(r)={−rs+1/(s+1)+C,s≠−1,−ln⁡r+C,s=−1.\boxed{U(r)=\begin{cases}-r^{s+1}/(s+1)+C,&s\ne-1,\\-\ln r+C,&s=-1.\end{cases}}

(4)​

r>0r>0 では

∇⋅(rser)=1r2ddrrs+2=(s+2)rs−1.\nabla\cdot(r^s\mathbf e_r)=\frac1{r^2}\frac{d}{dr}r^{s+2}=(s+2)r^{s-1}.

したがって全域で一定となるのは (s,a)=(1,3), (−2,0)\boxed{(s,a)=(1,3),\ (-2,0)} の二通り。

(5)​

半径 RR の球面を貫く流束は R−2 4πR2=4πR^{-2}\,4\pi R^2=4\pi。 原点以外で散度はゼロなので、分布の意味で

∇⋅err2=4πδ(3)(r).\boxed{\nabla\cdot\frac{\mathbf e_r}{r^2}=4\pi\delta^{(3)}(\mathbf r).}

(6)​

平面の外では zz に依存しない場として延長する。r>0r>0 で

∇×(rueθ)=1rddrru+1ez=(u+1)ru−1ez.\nabla\times(r^u\mathbf e_\theta)=\frac1r\frac{d}{dr}r^{u+1}\mathbf e_z =(u+1)r^{u-1}\mathbf e_z.

よって (u,b)=(1,2ez), (−1,0)\boxed{(u,\mathbf b)=(1,2\mathbf e_z),\ (-1,\mathbf0)}。

(7)​

原点を囲む正向きの円周で ∮r−1eθ⋅dr=2π\oint r^{-1}\mathbf e_\theta\cdot d\mathbf r=2\pi。 ストークスの定理を分布に拡張して

∇×eθr=2πδ(2)(r)ez.\boxed{\nabla\times\frac{\mathbf e_\theta}{r}=2\pi\delta^{(2)}(\mathbf r)\mathbf e_z.}

Reference​

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