京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2021年度 I-1

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• 京都大学
• 矩形波导

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

図1のように、$z$ 方向に無限に延びた導体の中に、$x$ 方向の長さが $a$、$y$ 方向の長さが $b$ の長方形の真空領域がある。電磁波は $z$ 方向に進む。真空の誘電率・透磁率を $\varepsilon_0,\mu_0$ とし、SI 単位系で答えよ。

$$\mathbf E=\mathbf E_0(x,y)e^{i(kz-\omega t)},\qquad \mathbf B=\mathbf B_0(x,y)e^{i(kz-\omega t)}.$$

1. $\nabla\times\mathbf E=-\partial_t\mathbf B$ の $x,y$ 成分から、$\partial_xE_z,\partial_yE_z$ を $E_x,E_y,B_x,B_y$ で表せ。

2. $\nabla\times\mathbf B=\varepsilon_0\mu_0\partial_t\mathbf E$ の $x,y$ 成分から、$\partial_xB_z,\partial_yB_z$ を同様に表せ。

3. 以下は TE モード $E_z=0$ とする。$\partial_xB_z$ を $E_y$ で、$\partial_yB_z$ を $E_x$ で表せ。

4. ファラデーの法則の $z$ 成分から、$B_z$ の満たす二階微分方程式を求めよ。

5. 変数分離形

   $$B_z=[A\cos(k_xx)+B\sin(k_xx)][C\cos(k_yy)+D\sin(k_yy)]e^{i(kz-\omega t)}$$

   を代入し、$k_x,k_y$ の関係を求めよ。

6. 導体表面の境界条件の物理的意味を述べ、$k_x,k_y$ に課される条件を $a,b$ で示せ。

7. 同じ振幅の $\cos(kz-\omega t)$ と $\cos[(k+\delta k)z-(\omega+\delta\omega)t]$（$|\delta k|\ll|k|,\ |\delta\omega|\ll\omega$）を重ね、群速度を導け。

8. 中空を誘電率 $\varepsilon$、透磁率 $\mu_0$ の気体で満たす。$\omega$ は $k$ の連続関数、$k_x,k_y$ は $k$ によらない。位相速度 $\omega/k$ と群速度の積を求めよ。

9. $\varepsilon>\varepsilon_0$ の場合、前問の積を真空中の光速の二乗と比較せよ。

题目描述

如上图1，沿 $z$ 无限延伸的导体内有矩形真空通道，$x$、$y$ 方向的长度分别为 $a,b$，坐标原点取在截面的一角。电磁波沿 $z$ 传播，场含共同因子 $e^{i(kz-\omega t)}$，真空介电常数、磁导率为 $\varepsilon_0,\mu_0$，采用 SI 制。

1. 从法拉第定律的 $x,y$ 分量求 $\partial_xE_z,\partial_yE_z$。
2. 从安培–麦克斯韦定律的 $x,y$ 分量求 $\partial_xB_z,\partial_yB_z$。
3. 以下取 TE 模式 $E_z=0$，分别用 $E_y,E_x$ 表示 $\partial_xB_z,\partial_yB_z$。
4. 从法拉第定律的 $z$ 分量导出 $B_z$ 的二阶偏微分方程。
5. 代入 $B_z=[A\cos(k_xx)+B\sin(k_xx)][C\cos(k_yy)+D\sin(k_yy)]e^{i(kz-\omega t)}$，求波数关系。
6. 解释导体表面边界条件，并求 $k_x,k_y$ 的允许值。
7. 叠加等振幅且波数、频率相差很小的上述两列余弦波，导出群速度。
8. 通道填入介电常数 $\varepsilon$、磁导率 $\mu_0$ 的气体，$k_x,k_y$ 不随 $k$ 变化，求相速度与群速度的乘积。
9. 当 $\varepsilon>\varepsilon_0$ 时，将该乘积与真空光速平方比较。

Kai

(1)

$\partial_z=ik,\ \partial_t=-i\omega$ より

$$\boxed{\partial_xE_z=ikE_x-i\omega B_y,\qquad \partial_yE_z=ikE_y+i\omega B_x.}$$

(2)

同様に

$$\boxed{\partial_xB_z=ikB_x+i\omega\varepsilon_0\mu_0E_y,\qquad \partial_yB_z=ikB_y-i\omega\varepsilon_0\mu_0E_x.}$$

(3)

$E_z=0$ から $B_x=-kE_y/\omega,\ B_y=kE_x/\omega$。 $K^2=\varepsilon_0\mu_0\omega^2-k^2$ と書けば

$$\boxed{\partial_xB_z=\frac{iK^2}{\omega}E_y,\qquad \partial_yB_z=-\frac{iK^2}{\omega}E_x.}$$

(4)

$K^2\ne0$ の TE モードでは

$$E_x=\frac{i\omega}{K^2}\partial_yB_z,\qquad E_y=-\frac{i\omega}{K^2}\partial_xB_z.$$

これを $\partial_xE_y-\partial_yE_x=i\omega B_z$ に代入して

$$\boxed{(\partial_x^2+\partial_y^2+K^2)B_z=0.}$$

(5)

$$\boxed{k_x^2+k_y^2=\varepsilon_0\mu_0\omega^2-k^2.}$$

(6)

完全導体では表面に沿う電場がゼロである。したがって $x=0,a$ で $E_y=0$、$y=0,b$ で $E_x=0$、すなわち $B_z$ の法線微分がゼロとなる。非自明なモードは

$$B_z=B_*\cos\frac{m\pi x}{a}\cos\frac{n\pi y}{b}e^{i(kz-\omega t)},\qquad \boxed{k_x=\frac{m\pi}{a},\quad k_y=\frac{n\pi}{b}},$$

$m,n=0,1,2,\ldots$、ただし $(m,n)\ne(0,0)$。両方ゼロでは有限周波数の TE 波にならない。伝搬には $\varepsilon_0\mu_0\omega^2>(m\pi/a)^2+(n\pi/b)^2$ が必要である。

(7)

和積公式により合成波は

$$2\cos\frac{\delta k\,z-\delta\omega\,t}{2} \cos\left[\left(k+\frac{\delta k}{2}\right)z-\left(\omega+\frac{\delta\omega}{2}\right)t\right].$$

ゆっくり変化する包絡線の速度は $\delta\omega/\delta k$ であるから

$$\boxed{v_g=\frac{d\omega}{dk}.}$$

(8)

気体を非分散媒質（$\varepsilon$ が周波数によらない）として $\varepsilon\mu_0\omega^2=k^2+k_x^2+k_y^2$ を微分すると

$$v_g=\frac{k}{\varepsilon\mu_0\omega},\qquad \boxed{v_pv_g=\frac1{\varepsilon\mu_0}}.$$

(9)

$$\boxed{v_pv_g=\frac1{\varepsilon\mu_0}<\frac1{\varepsilon_0\mu_0}=c_0^2.}$$

Reference

• 京都大学公式問題（2021年度 I、PDF 2–3ページ）