京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2021年度 II-3

标签：

• 京都大学
• 正则配分函数
• 理想气体的熵与热容

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

質量 $m$ の同種単原子分子からなる古典理想気体が、体積 $V$ の箱内で温度 $T$ の熱平衡にある。粒子数を $N$、ボルツマン定数を $k$ とする。

$$H=\sum_{a=1}^N\frac{\mathbf p_a^2}{2m},\qquad Z=e^{-F/(kT)}=\frac1{N!}\int\prod_{a=1}^N\frac{d^3\mathbf x_a\,d^3\mathbf p_a}{(2\pi\hbar)^3}e^{-H/(kT)}.$$

1. 熱力学極限で $F(T,N,V)=-kNT\ln(V/N)-kN g(T)$ の形になることを示せ。ガウス積分と $N!\sim N^Ne^{-N}$ を用いてよい。
2. 一般の理想気体でもこの形が成り立つとして、$dF=-S\,dT+\mu\,dN-p\,dV$ を用い状態方程式を導け。
3. 定積熱容量 $C_V$ と定圧熱容量 $C_p$ を $N,T,g(T)$ およびその導関数で表せ。

题目描述

质量 $m$ 的相同单原子分子组成经典理想气体，粒子数 $N$、体积 $V$、温度 $T$，玻尔兹曼常数为 $k$。哈密顿量为各粒子动能之和，配分函数含 $1/N!$ 和相空间元 $(2\pi\hbar)^{-3}d^3x\,d^3p$。

1. 从相空间积分和 Stirling 近似证明自由能可写成 $F=-kNT\ln(V/N)-kNg(T)$。
2. 以该形式推导一般理想气体的状态方程。
3. 用 $N,T,g(T)$ 及其导数表示定容、定压热容量。

Kai

(1)

熱的ド・ブロイ波長を $\Lambda=\sqrt{2\pi\hbar^2/(mkT)}$ とおく。一粒子の位置積分は $V$、運動量積分は $(2\pi mkT)^{3/2}$ なので

$$Z=\frac1{N!}\left(\frac V{\Lambda^3}\right)^N,\qquad F=-NkT\left[\ln\frac{V}{N\Lambda^3}+1\right]+o(N).$$

よって題意の形で

$$\boxed{g(T)=T\left[1+\frac32\ln\frac{mkT}{2\pi\hbar^2}\right]}$$

と書ける（対数の無次元な組合せは元の $V/(N\Lambda^3)$ による）。

(2)

$$p=-\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N}=\frac{NkT}{V},\qquad \boxed{pV=NkT.}$$

(3)

$$S=-F_T=kN\left[\ln\frac VN+g'(T)\right],\qquad U=F+TS=kN[Tg'(T)-g(T)].$$

したがって

$$\boxed{C_V=kNTg''(T),\qquad C_p=C_V+Nk=kN[Tg''(T)+1].}$$

後式は $H=U+pV=U+NkT$ から得られる。単原子理想気体では $g''(T)=3/(2T)$ なので $C_V=3Nk/2,\ C_p=5Nk/2$。

Reference

• 京都大学公式問題（2021年度 II、PDF 6ページ）