京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2021年度 II-2

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• 京都大学
• 杜芬振子
• 受迫振动

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

両端を固定した針金の中点の質量 $m$ を横方向に振動させると、変位の三乗に比例する復元力が現れる。その近似解を考える。

1. $\ddot x+\omega_0^2x=(F/m)\cos\omega t$（$\omega\ne\omega_0$）に $x=B_1\cos\omega t$ を代入して特解を求め、一般解を示せ。

2. $\omega=\omega_0$ では $x=B_2t\sin\omega_0t$ を代入して特解を求め、どのような運動か述べよ。

3. $\ddot x+\omega_0^2x+Cx^3=0$、$|Cx^3|\ll|\omega_0^2x|$ とする。$\omega_0^2\gg|\omega_0^2-p^2|$ のもと、右辺の評価に $x=a\cos pt$ を用いて

   $$\ddot x+p^2x=D_1\cos pt+D_2\cos3pt$$

   と書き、$D_1,D_2$ を求めよ。$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ を用いてよい。

4. 共鳴項を除くため $D_1=0$ として $p^2$ を求め、上の方程式の特解を求めよ。

5. その一般解を求め、$x(0)=a,\dot x(0)=0$ を満たす元の非線形方程式の近似解を示せ。$p$ はそのまま用いてよい。

题目描述

研究弱三次回复力振子。

1. 对 $\ddot x+\omega_0^2x=(F/m)\cos\omega t$，在 $\omega\ne\omega_0$ 时用 $B_1\cos\omega t$ 求特解和通解。
2. 共振时用 $B_2t\sin\omega_0t$ 求特解，并说明运动特征。
3. 对 $\ddot x+\omega_0^2x+Cx^3=0$，假设非线性项很小、$p$ 接近 $\omega_0$。用 $a\cos pt$ 估计右侧，把方程写为 $\ddot x+p^2x=D_1\cos pt+D_2\cos3pt$，求两系数。
4. 令 $D_1=0$ 消去共振项，求 $p^2$ 和特解。
5. 求该线性近似方程通解，并施加 $x(0)=a,\dot x(0)=0$，得到非线性振子的近似解。

Kai

(1)

$B_1(\omega_0^2-\omega^2)=F/m$ より

$$\boxed{x=A\cos(\omega_0t+\alpha)+\frac{F}{m(\omega_0^2-\omega^2)}\cos\omega t.}$$

(2)

$(d^2/dt^2+\omega_0^2)(t\sin\omega_0t)=2\omega_0\cos\omega_0t$ なので

$$\boxed{x_p=\frac{F}{2m\omega_0}t\sin\omega_0t.}$$

外力と固有振動の共鳴により、振幅が時間に比例して増大する。

(3)

$\ddot x+p^2x=(p^2-\omega_0^2)x-Cx^3$ に近似波形を代入して

$$\boxed{D_1=a(p^2-\omega_0^2)-\frac34Ca^3,\qquad D_2=-\frac14Ca^3.}$$

(4)

$$\boxed{p^2=\omega_0^2+\frac34Ca^2,\qquad x_p=\frac{Ca^3}{32p^2}\cos3pt.}$$

特解の分母は $p^2-(3p)^2=-8p^2$ である。

(5)

一般解は $A\cos pt+B\sin pt+Ca^3\cos3pt/(32p^2)$。初期条件より

$$\boxed{x(t)\simeq a\cos pt+\frac{Ca^3}{32p^2}(\cos3pt-\cos pt).}$$

適用条件は $|C|a^2/\omega_0^2\ll1$、$p^2>0$。この近似は周波数の一次補正を取り込み、残差は非線形性の二次である。

Reference

• 京都大学公式問題（2021年度 II、PDF 4ページ）