京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2021年度 II-1

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• 京都大学
• 定态微扰论
• 量子变分法

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$m,\omega,\lambda>0$、$p=-i\hbar d/dx$ とし、一次元ハミルトニアン

$$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2x^2}{2}+\lambda x^4$$

の最低エネルギー $E_0$ を求める。無摂動項を $H^{(0)}=p^2/(2m)+m\omega^2x^2/2$、摂動を $H^{(1)}=\lambda x^4$ とする。

1. $a=ip/\sqrt{2\hbar m\omega}+\sqrt{m\omega/(2\hbar)}x$、$a^\dagger=-ip/\sqrt{2\hbar m\omega}+\sqrt{m\omega/(2\hbar)}x$ を用いて $H^{(0)}$ を表せ。
2. $a|\Omega\rangle=0$ を満たす規格化基底状態に対して $\langle\Omega|x^4|\Omega\rangle$ を求めよ。
3. 摂動論で $E_0$ を $\lambda$ の一次まで求めよ。

次にレイリー商 $R[\phi]=\int\phi^*H\phi\,dx/\int|\phi|^2dx\ge E_0$ と、試行関数 $\phi_c(x)=e^{-cx^2/2}$（$c>0$）を用いる。

4. $f(c)=R[\phi_c]$ を計算せよ。
5. $f$ を最小化する $c$ の方程式を $c^3+\cdots=0$ の形にせよ。
6. $\lambda\ll m^2\omega^3/\hbar$ のとき、最適値 $c(\lambda)$ を一次まで求めよ。
7. 同じ極限で $f(c(\lambda))$ を一次まで求めよ。
8. $\lambda\gg m^2\omega^3/\hbar$ では、$f(c(\lambda))$ の漸近形の先頭項を求めよ。

必要ならば $\int_{-\infty}^\infty x^{2n}e^{-cx^2}dx=\sqrt{\pi/c}(2n)!/[n!(4c)^n]$ を用いてよい。

题目描述

对 $H=p^2/(2m)+m\omega^2x^2/2+\lambda x^4$（$m,\omega,\lambda>0$）用微扰法和变分法估计基态能量。

1. 用题给升降算符表示无微扰谐振子哈密顿量。
2. 求无微扰归一化基态的 $\langle x^4\rangle$。
3. 求能量的一阶微扰。
4. 取高斯试探函数 $e^{-cx^2/2}$（$c>0$），求瑞利商 $f(c)$。
5. 写出使 $f$ 最小的三次方程。
6. 当 $\lambda\ll m^2\omega^3/\hbar$ 时，将最优 $c$ 展开到一阶。
7. 求相应能量到一阶。
8. 当 $\lambda\gg m^2\omega^3/\hbar$ 时，求变分能量的渐近主项。

瑞利商是基态能量上界，可使用题给高斯偶次矩积分。

Kai

(1)

$[a,a^\dagger]=1$ より $\boxed{H^{(0)}=\hbar\omega(a^\dagger a+1/2)}$。

(2)

$x=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}(a+a^\dagger)$、 $(a+a^\dagger)^2|\Omega\rangle=|\Omega\rangle+\sqrt2|2\rangle$ なので

$$\boxed{\langle x^4\rangle_0=3\left(\frac{\hbar}{2m\omega}\right)^2.}$$

(3)

$$\boxed{E_0=\frac{\hbar\omega}{2}+\frac{3\lambda\hbar^2}{4m^2\omega^2}+O(\lambda^2).}$$

(4)

$\langle x^2\rangle_c=1/(2c)$、$\langle x^4\rangle_c=3/(4c^2)$、$\langle p^2\rangle_c=\hbar^2c/2$ より

$$\boxed{f(c)=\frac{\hbar^2c}{4m}+\frac{m\omega^2}{4c}+\frac{3\lambda}{4c^2}.}$$

(5)

$f'(c)=0$ を整理すると

$$\boxed{c^3-\frac{m^2\omega^2}{\hbar^2}c-\frac{6m\lambda}{\hbar^2}=0.}$$

$c>0$ で $f''(c)=m\omega^2/(2c^3)+9\lambda/(2c^4)>0$、両端で $f\to\infty$ なので正の解は一意な最小点である。

(6)

$c=c_0+\lambda c_1+O(\lambda^2)$ とおく。定数項から $c_0=m\omega/\hbar$、一次の項から $2c_0^2c_1=6m/\hbar^2$。よって

$$\boxed{c(\lambda)=\frac{m\omega}{\hbar}+\frac{3\lambda}{m\omega^2}+O(\lambda^2).}$$

(7)

$\lambda=0$ で $f_c(c_0,0)=0$ のため、$c$ の変化は一次項に寄与しない。

$$\boxed{f(c(\lambda))=\frac{\hbar\omega}{2}+\frac{3\lambda\hbar^2}{4m^2\omega^2}+O(\lambda^2).}$$

(8)

三次方程式より $c\sim(6m\lambda/\hbar^2)^{1/3}$。$m\omega^2/(4c)$ は劣位で、最適点では $3\lambda/(4c^2)\sim\hbar^2c/(8m)$。したがって

$$\boxed{f(c(\lambda))\sim\frac{3\,6^{1/3}}8\left(\frac{\hbar^4\lambda}{m^2}\right)^{1/3}.}$$

これはガウス試行関数による変分上界の漸近形である。

Reference

• 京都大学公式問題（2021年度 II、PDF 2–3ページ）