京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2020年8月実施 I-3-AB

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• 京都大学
• 拉格朗日力学
• 一维无限深方势阱

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

I-3A（力学）

長さ $\ell$ の糸に吊された質量 $m$ のおもりの単振動について考えよう。

(1) 糸が鉛直方向となす角度を $\theta$ とし、この系のラグランジアンを示せ。ただし、重力定数を $g$ とする。

(2) $\theta\ll1$ として、ラグランジュの運動方程式から、単振動の運動方程式を示せ。

I-3B（量子力学）

図のように無限に高いポテンシャル障壁に束縛された質量 $m$ の粒子について考える。$x$ は位置座標である。$0<x<a$ において粒子の波動関数 $\phi(x)$ がシュレディンガー方程式

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\phi(x)=E\phi(x)\tag{A}$$

に従うとして、以下の小問に答えよ。$E$ はエネルギー、$\hbar$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。

(1) 式 (A) のシュレディンガー方程式を解き、エネルギー準位を求めよ。

(2) 波動関数 $\phi(x)$ を規格化せよ。

题目描述

I-3A（力学）

考虑悬挂在长度为 $\ell$ 的绳上的质量为 $m$ 的重物的简谐振动。

(1) 设绳与竖直方向的夹角为 $\theta$，写出系统的拉格朗日量。重力常数记为 $g$。

(2) 设 $\theta\ll1$，从拉格朗日运动方程导出简谐振动的运动方程。

I-3B（量子力学）

考虑如图被无限高势垒束缚的质量为 $m$ 的粒子，$x$ 为位置坐标。在 $0<x<a$ 区域内，波函数 $\phi(x)$ 满足薛定谔方程

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\phi(x)=E\phi(x).\tag{A}$$

其中 $E$ 为能量，$\hbar$ 为普朗克常数除以 $2\pi$。

(1) 求解式 (A) 的薛定谔方程，求能级。

(2) 将波函数 $\phi(x)$ 归一化。

Kai

I-3A

(1)

最下点を位置エネルギーの零点とすると

$$\boxed{L=\frac12m\ell^2\dot\theta^2-mg\ell(1-\cos\theta).}$$

(2)

オイラー–ラグランジュ方程式は $m\ell^2\ddot\theta+mg\ell\sin\theta=0$。小角近似により

$$\boxed{\ddot\theta+\frac g\ell\theta=0,\qquad\omega_0=\sqrt{g/\ell}.}$$

I-3B

(1)

$\phi=A\sin kx+B\cos kx$、$E=\hbar^2k^2/(2m)$。壁で $\phi(0)=\phi(a)=0$ より $B=0,\ ka=n\pi$。$n=0$ は零関数なので除く。

$$\boxed{E_n=\frac{\pi^2\hbar^2n^2}{2ma^2},\quad n=1,2,\ldots.}$$

(2)

$\int_0^a\sin^2(n\pi x/a)\,dx=a/2$ なので、全体位相を除き

$$\boxed{\phi_n(x)=\sqrt{\frac2a}\sin\frac{n\pi x}{a}\quad(0<x<a),}$$

領域外では $\phi_n=0$ である。

Reference

• 京都大学公式問題（2021年度 I、PDF 6–7ページ）