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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2020年8月実施 I-2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

3 次元空間における位置ベクトル r=(x,y,z)\mathbf r=(x,y,z) に対する動径方向の単位ベクトルを er\mathbf e_r、r=∣r∣r=|\mathbf r| とする。以下の各設問への解答に際してはその導出過程も含めて記述すること。

(1) ∇r=er\nabla r=\mathbf e_r となることを示せ。

(2) ∇(rn)\nabla(r^n)（nn は実数）を r,n,err,n,\mathbf e_r を用いて表せ。

位置ベクトル r\mathbf r に存在する物体に対し、F=rser\mathbf F=r^s\mathbf e_r（ss は実数）で与えられる力が働く場に関して、小問 (3)–(5) に答えよ。必要であれば、面積積分と体積積分に関するガウスの発散定理

∬SA⋅dS=∭V∇⋅A dV(A)\iint_S\mathbf A\cdot d\mathbf S=\iiint_V\nabla\cdot\mathbf A\,dV\tag{A}

を用いて良い。

(3) ベクトル場 F\mathbf F の元となるポテンシャル UU を rr の関数として表せ。

(4) 原点以外の任意の点において、∇⋅F=a\nabla\cdot\mathbf F=a（定数）となるための ss の条件を aa の値とともに求めよ。

(5) 小問 (4) で a=0a=0 となる場合に対し、∇⋅F\nabla\cdot\mathbf F を r\mathbf r に関する 3 次元デルタ関数 δ(3)(r)\delta^{(3)}(\mathbf r) を用いて表せ。

次に、r\mathbf r は xyxy 平面内にあるものとし、er\mathbf e_r を zz 軸に対し π/2\pi/2 回転させたベクトルを eθ\mathbf e_\theta、zz 軸方向の単位ベクトルを ez\mathbf e_z とする。r\mathbf r に存在する物体に対し、F=rueθ\mathbf F=r^u\mathbf e_\theta（uu は実数）で与えられる力が働く場に関して、小問 (6)、(7) に答えよ。必要であれば、線積分と面積積分に関するストークスの定理

∮CA⋅dr=∬S(∇×A)⋅dS(B)\oint_C\mathbf A\cdot d\mathbf r=\iint_S(\nabla\times\mathbf A)\cdot d\mathbf S\tag{B}

を用いて良い。

(6) xyxy 平面内で原点以外の任意の点において、∇×F=b\nabla\times\mathbf F=\mathbf b（定数ベクトル）となるための uu の条件を b\mathbf b とともに求めよ。

(7) 小問 (6) で b=0\mathbf b=\mathbf0 となる場合に対し、∇×F\nabla\times\mathbf F を xyxy 平面内での r\mathbf r に関する 2 次元デルタ関数 δ(2)(r)\delta^{(2)}(\mathbf r) を用いて表せ。

题目描述​

三维空间中位置矢量为 r=(x,y,z)\mathbf r=(x,y,z)，对应的径向单位矢量为 er\mathbf e_r，r=∣r∣r=|\mathbf r|。以下各问均须写出推导过程。

(1) 证明 ∇r=er\nabla r=\mathbf e_r。

(2) 用 r,n,err,n,\mathbf e_r 表示 ∇(rn)\nabla(r^n)，其中 nn 为实数。

位于 r\mathbf r 的物体受到力 F=rser\mathbf F=r^s\mathbf e_r，其中 ss 为实数。对该力场回答 (3)–(5)。必要时可使用联系面积分和体积分的高斯散度定理：

∬SA⋅dS=∭V∇⋅A dV.(A)\iint_S\mathbf A\cdot d\mathbf S=\iiint_V\nabla\cdot\mathbf A\,dV.\tag{A}

(3) 将产生矢量场 F\mathbf F 的势能 UU 表示为 rr 的函数。

(4) 求使原点以外任意点都满足 ∇⋅F=a\nabla\cdot\mathbf F=a（常数）的 ss 的条件及相应 aa 值。

(5) 对 (4) 中 a=0a=0 的情况，用关于 r\mathbf r 的三维狄拉克函数 δ(3)(r)\delta^{(3)}(\mathbf r) 表示 ∇⋅F\nabla\cdot\mathbf F。

下面设 r\mathbf r 位于 xyxy 平面内，将 er\mathbf e_r 绕 zz 轴旋转 π/2\pi/2 得到的矢量记为 eθ\mathbf e_\theta，zz 方向单位矢量记为 ez\mathbf e_z。位于 r\mathbf r 的物体受到力 F=rueθ\mathbf F=r^u\mathbf e_\theta，其中 uu 为实数。对该力场回答 (6)、(7)，必要时可使用联系线积分和面积分的斯托克斯定理：

∮CA⋅dr=∬S(∇×A)⋅dS.(B)\oint_C\mathbf A\cdot d\mathbf r=\iint_S(\nabla\times\mathbf A)\cdot d\mathbf S.\tag{B}

(6) 求使 xyxy 平面内原点以外任意点均满足 ∇×F=b\nabla\times\mathbf F=\mathbf b（常矢量）的 uu 的条件及相应 b\mathbf b。

(7) 对 (6) 中 b=0\mathbf b=\mathbf0 的情况，用 xyxy 平面内关于 r\mathbf r 的二维狄拉克函数 δ(2)(r)\delta^{(2)}(\mathbf r) 表示 ∇×F\nabla\times\mathbf F。

Kai​

(1)​

r>0r>0 で ∂xr=x/r\partial_xr=x/r、他の成分も同様なので ∇r=(x,y,z)/r=er\nabla r=(x,y,z)/r=\mathbf e_r。

(2)​

連鎖律より ∇(rn)=nrn−1er\boxed{\nabla(r^n)=nr^{n-1}\mathbf e_r}（r>0r>0）。

(3)​

F=−∇U\mathbf F=-\nabla U から U′=−rsU'=-r^s。任意定数を CC とすると

U(r)={−rs+1/(s+1)+C,s≠−1,−ln⁡r+C,s=−1.\boxed{U(r)=\begin{cases}-r^{s+1}/(s+1)+C,&s\ne-1,\\-\ln r+C,&s=-1.\end{cases}}

(4)​

r>0r>0 では

∇⋅(rser)=1r2ddrrs+2=(s+2)rs−1.\nabla\cdot(r^s\mathbf e_r)=\frac1{r^2}\frac{d}{dr}r^{s+2}=(s+2)r^{s-1}.

したがって全域で一定となるのは (s,a)=(1,3), (−2,0)\boxed{(s,a)=(1,3),\ (-2,0)} の二通り。

(5)​

半径 RR の球面を貫く流束は R−2 4πR2=4πR^{-2}\,4\pi R^2=4\pi。 原点以外で散度はゼロなので、分布の意味で

∇⋅err2=4πδ(3)(r).\boxed{\nabla\cdot\frac{\mathbf e_r}{r^2}=4\pi\delta^{(3)}(\mathbf r).}

(6)​

平面の外では zz に依存しない場として延長する。r>0r>0 で

∇×(rueθ)=1rddrru+1ez=(u+1)ru−1ez.\nabla\times(r^u\mathbf e_\theta)=\frac1r\frac{d}{dr}r^{u+1}\mathbf e_z =(u+1)r^{u-1}\mathbf e_z.

よって (u,b)=(1,2ez), (−1,0)\boxed{(u,\mathbf b)=(1,2\mathbf e_z),\ (-1,\mathbf0)}。

(7)​

原点を囲む正向きの円周で ∮r−1eθ⋅dr=2π\oint r^{-1}\mathbf e_\theta\cdot d\mathbf r=2\pi。 ストークスの定理を分布に拡張して

∇×eθr=2πδ(2)(r)ez.\boxed{\nabla\times\frac{\mathbf e_\theta}{r}=2\pi\delta^{(2)}(\mathbf r)\mathbf e_z.}

Reference​

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