京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2020年8月実施 I-1

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• 矩形波导

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$z$ 方向に無限に延びた導体内に真空の中空があり、そこに電磁波が伝搬する。中空の $xy$ 平面（断面）は一定の長方形であり、図 1 に示すように、$x$ 方向の長さが $a$、$y$ 方向の長さが $b$ である。電磁波は真空中を $z$ 方向に伝搬する。真空の誘電率を $\varepsilon_0$、真空の透磁率を $\mu_0$ とするとき、以下の設問に答えよ。なお、解答は SI 単位系で述べよ。

(1) 電場が $\mathbf E=\mathbf E_0(x,y)\exp[i(kz-\omega t)]$、磁束密度が $\mathbf B=\mathbf B_0(x,y)\exp[i(kz-\omega t)]$ と与えられるとする。ここで電磁波の $z$ 方向の波数 $k$ と角振動数 $\omega$ は定数である。$\mathbf E=(E_x,E_y,E_z)$、$\mathbf B=(B_x,B_y,B_z)$ とおいたとき、マクスウェル方程式 $\nabla\times\mathbf E=-\partial\mathbf B/\partial t$ の $x,y$ 成分より、$\partial E_z/\partial x$ と $\partial E_z/\partial y$ を $E_x,E_y,B_x,B_y$ によって表わせ。電場および磁束密度の $z$ と $t$ に対する依存性が、問題で与えられた形に限定されていることに注意せよ。

(2) 小問 (1) と同様の条件で、マクスウェル方程式 $\nabla\times\mathbf B=\varepsilon_0\mu_0\partial\mathbf E/\partial t$ の $x,y$ 成分より、$\partial B_z/\partial x$ と $\partial B_z/\partial y$ を $E_x,E_y,B_x,B_y$ によって表わせ。

(3) これ以降 $E_z=0$ の場合を考える（TE モード）。小問 (1) で求めた $E_z$ の $x$ および $y$ による偏微分も同様に 0 となる。このとき、小問 (2) で求めた $\partial B_z/\partial x$ を $E_y$ によって表せ。同様に $\partial B_z/\partial y$ を $E_x$ によって表せ。

(4) マクスウェル方程式 $\nabla\times\mathbf E=-\partial\mathbf B/\partial t$ の $z$ 成分に小問 (3) の結果を代入することにより、$B_z$ の満たすべき 2 階の微分方程式を求めよ。

(5) 前問の一般解を、変数分離法により

$$\begin{aligned} B_z={}&[A\cos(k_xx)+B\sin(k_xx)]\\ &\times[C\cos(k_yy)+D\sin(k_yy)]\exp[i(kz-\omega t)] \end{aligned}$$

とおく。小問 (4) で得られた方程式に代入し、$k_x,k_y$ の間に成り立つ関係式を求めよ。

(6) 小問 (3) で求めた $E_x$ と $E_y$ に、小問 (5) で与えた

$$\begin{aligned} B_z={}&[A\cos(k_xx)+B\sin(k_xx)]\\ &\times[C\cos(k_yy)+D\sin(k_yy)]\exp[i(kz-\omega t)] \end{aligned}$$

を代入する。導体表面での境界条件に関してその物理的意味合いについて述べ、それを満たすために $k_x,k_y$ に課される具体的な条件を、中空の断面の辺の長さ $a,b$ を用いて求めよ。

［ヒント］図 1 のように、長方形の角のひとつを座標原点に取るとよい。

(7) 群速度を理解するために、波数 $k$ と振動数 $\omega$ がそれぞれ微妙に異なる、2 つの波の合成を考える。$z$ 方向に伝搬する 2 つの波、$\cos(kz-\omega t)$ と $\cos[(k+\delta k)z-(\omega+\delta\omega)t]$ を同じ振幅で重ね合わせ、その群速度を導出せよ。ここで $\delta k$ や $\delta\omega$ はそれぞれ $k$ や $\omega$ よりも十分小さいとする。

(8) 小問 (1)–(6) における真空を気体で満たし、気体中を伝搬する電磁波の角振動数 $\omega$ が $z$ 方向の波数 $k$ の連続的な関数になっているものとする。$k_x,k_y$ は $k$ に依存して変化しないとする。電磁波はさまざまな波数の重ね合わせで与えられる。このとき、$z$ 方向の波数 $k$ の成分に対する位相速度 $\omega/k$ と、この波数に対応した群速度との積を求めよ。気体の持つ誘電率を $\varepsilon$ とする。透磁率は真空の値 $\mu_0$ を用いる。

(9) 小問 (8) において気体の持つ誘電率 $\varepsilon$ が $\varepsilon>\varepsilon_0$ の関係を満たすとき、波数 $k$ に対する位相速度と群速度の積と、真空中を伝搬する光速の 2 乗との大小関係を求めよ。

题目描述

沿 $z$ 方向无限延伸的导体内部有真空空腔，电磁波在其中传播。空腔的 $xy$ 截面为大小不变的长方形，如图 1，$x$ 方向长度为 $a$，$y$ 方向长度为 $b$。电磁波在真空中沿 $z$ 方向传播。真空介电常数、磁导率分别为 $\varepsilon_0,\mu_0$，以下答案采用 SI 单位制。

(1) 给定电场 $\mathbf E=\mathbf E_0(x,y)\exp[i(kz-\omega t)]$ 和磁感应强度 $\mathbf B=\mathbf B_0(x,y)\exp[i(kz-\omega t)]$，其中沿 $z$ 方向的波数 $k$ 和角频率 $\omega$ 为常数。令 $\mathbf E=(E_x,E_y,E_z)$、$\mathbf B=(B_x,B_y,B_z)$，从麦克斯韦方程 $\nabla\times\mathbf E=-\partial\mathbf B/\partial t$ 的 $x,y$ 分量，用 $E_x,E_y,B_x,B_y$ 表示 $\partial E_z/\partial x$ 和 $\partial E_z/\partial y$。注意电场和磁场对 $z,t$ 的依赖仅限于题目给定的形式。

(2) 在 (1) 相同条件下，从 $\nabla\times\mathbf B=\varepsilon_0\mu_0\partial\mathbf E/\partial t$ 的 $x,y$ 分量，用 $E_x,E_y,B_x,B_y$ 表示 $\partial B_z/\partial x$ 和 $\partial B_z/\partial y$。

(3) 以下考虑 $E_z=0$ 的 TE 模式。(1) 中求得的 $E_z$ 对 $x,y$ 的偏导数也为 0。此时，用 $E_y$ 表示 (2) 中的 $\partial B_z/\partial x$，用 $E_x$ 表示 $\partial B_z/\partial y$。

(4) 将 (3) 的结果代入 $\nabla\times\mathbf E=-\partial\mathbf B/\partial t$ 的 $z$ 分量，求 $B_z$ 满足的二阶微分方程。

(5) 用分离变量法，将上一问的通解设为

$$\begin{aligned} B_z={}&[A\cos(k_xx)+B\sin(k_xx)]\\ &\times[C\cos(k_yy)+D\sin(k_yy)]\exp[i(kz-\omega t)]. \end{aligned}$$

代入 (4) 得到的方程，求 $k_x,k_y$ 满足的关系。

(6) 将 (5) 给出的上述 $B_z$ 代入 (3) 求得的 $E_x,E_y$。说明导体表面边界条件的物理意义，并用截面边长 $a,b$ 求满足该条件所需的 $k_x,k_y$ 的具体条件。

［提示］可如图 1，将长方形的一角取为坐标原点。

(7) 为理解群速度，考虑波数 $k$ 和频率 $\omega$ 略有差别的两列波的叠加。将沿 $z$ 方向传播的两列波 $\cos(kz-\omega t)$ 和 $\cos[(k+\delta k)z-(\omega+\delta\omega)t]$ 以相同振幅叠加，导出其群速度。$\delta k,\delta\omega$ 分别远小于 $k,\omega$。

(8) 将 (1)–(6) 中的真空区域充满气体，设电磁波角频率 $\omega$ 是沿 $z$ 方向波数 $k$ 的连续函数，$k_x,k_y$ 不随 $k$ 变化，电磁波由各种波数成分叠加而成。求 $z$ 方向波数为 $k$ 的成分的相速度 $\omega/k$ 与对应群速度的乘积。气体介电常数为 $\varepsilon$，磁导率采用真空值 $\mu_0$。

(9) 若 (8) 中气体的介电常数满足 $\varepsilon>\varepsilon_0$，比较波数 $k$ 对应的相速度与群速度乘积和真空光速的平方的大小。

Kai

(1)

$\partial_z=ik,\ \partial_t=-i\omega$ より

$$\boxed{\begin{aligned} \partial_xE_z&=ikE_x-i\omega B_y,\\ \partial_yE_z&=ikE_y+i\omega B_x. \end{aligned}}$$

(2)

同様に

$$\boxed{\begin{aligned} \partial_xB_z&=ikB_x+i\omega\varepsilon_0\mu_0E_y,\\ \partial_yB_z&=ikB_y-i\omega\varepsilon_0\mu_0E_x. \end{aligned}}$$

(3)

$E_z=0$ から $B_x=-kE_y/\omega,\ B_y=kE_x/\omega$。 $K^2=\varepsilon_0\mu_0\omega^2-k^2$ と書けば

$$\boxed{\partial_xB_z=\frac{iK^2}{\omega}E_y,\qquad \partial_yB_z=-\frac{iK^2}{\omega}E_x.}$$

(4)

$K^2\ne0$ の TE モードでは

$$E_x=\frac{i\omega}{K^2}\partial_yB_z,\qquad E_y=-\frac{i\omega}{K^2}\partial_xB_z.$$

これを $\partial_xE_y-\partial_yE_x=i\omega B_z$ に代入して

$$\boxed{(\partial_x^2+\partial_y^2+K^2)B_z=0.}$$

(5)

$$\boxed{k_x^2+k_y^2=\varepsilon_0\mu_0\omega^2-k^2.}$$

(6)

完全導体では表面に沿う電場がゼロである。したがって $x=0,a$ で $E_y=0$、$y=0,b$ で $E_x=0$、すなわち $B_z$ の法線微分がゼロとなる。非自明なモードは

$$\begin{gathered} B_z=B_*\cos\frac{m\pi x}{a}\cos\frac{n\pi y}{b}e^{i(kz-\omega t)},\\ \boxed{k_x=\frac{m\pi}{a},\quad k_y=\frac{n\pi}{b}}, \end{gathered}$$

$m,n=0,1,2,\ldots$、ただし $(m,n)\ne(0,0)$。両方ゼロでは有限周波数の TE 波にならない。伝搬には $\varepsilon_0\mu_0\omega^2>(m\pi/a)^2+(n\pi/b)^2$ が必要である。

(7)

和積公式により合成波は

$$2\cos\frac{\delta k\,z-\delta\omega\,t}{2} \cos\left[\left(k+\frac{\delta k}{2}\right)z-\left(\omega+\frac{\delta\omega}{2}\right)t\right].$$

ゆっくり変化する包絡線の速度は $\delta\omega/\delta k$ であるから

$$\boxed{v_g=\frac{d\omega}{dk}.}$$

(8)

気体を非分散媒質（$\varepsilon$ が周波数によらない）として $\varepsilon\mu_0\omega^2=k^2+k_x^2+k_y^2$ を微分すると

$$v_g=\frac{k}{\varepsilon\mu_0\omega},\qquad \boxed{v_pv_g=\frac1{\varepsilon\mu_0}}.$$

(9)

$$\boxed{v_pv_g=\frac1{\varepsilon\mu_0}<\frac1{\varepsilon_0\mu_0}=c_0^2.}$$

Reference

• 京都大学公式問題（2021年度 I、PDF 2–3ページ）