京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2020年8月実施 II-2

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• 杜芬振子
• 受迫振动

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

両端を固定して張り渡した針金の中点に質量 $m$ の質点を取り付け、垂直な方向に振動させると、（針金のヤング率に比例し）変位の 3 乗に比例した復元力があらわれる。このような振動について、発見的に近似解を求めよう。

(1) まず、質量が $m$ で角振動数が $\omega_0$ の 1 次元調和振動子

$$m\frac{d^2x}{dt^2}+m\omega_0^2x=0\tag{A}$$

の一般解を $x=A\cos(\omega_0t+\alpha)$（$A$ と $\alpha$ は定数）とする。これに対して、次のように $F\cos\omega t$（$F$ と $\omega\ (\neq\omega_0)$ は定数）で表される周期的な外力が作用する場合

$$m\frac{d^2x}{dt^2}+m\omega_0^2x=F\cos\omega t\tag{B}$$

を考える。ここで、$x=B_1\cos\omega t$ とおいて $B_1$ を決めることで式 (B) の特解を求め、一般解を求めよ。

(2) 外力の角振動数 $\omega$ が $\omega_0$ に一致する場合、小問 (1) に示した方法では解くことができない。$x=B_2t\sin\omega_0t$ とおいて $B_2$ を決めることで式 (B) の特解を求めよ。これはどのような運動か。

(3) さて、変位の 3 乗に比例した復元力があらわれる振動を

$$m\frac{d^2x}{dt^2}+m\omega_0^2x+mCx^3=0\tag{C}$$

とし、$|\omega_0^2x|\gg|Cx^3|$ の場合を考える。

まず、$\omega_0$ とわずかに異なる角振動数 $p$（ただし、$\omega_0^2\gg|\omega_0^2-p^2|$）の単振動から出発して、近似解を求める。$x=a\cos pt$ を式 (C) に代入し、それを、角振動数 $p$ の単振動に対して周期的な外力が作用する、式 (B) のような形

$$\frac{d^2x}{dt^2}+p^2x=D_1\cos pt+D_2\cos3pt\tag{D}$$

に変形しよう。係数 $D_1$ と $D_2$ を求めよ。

3 倍角の公式は $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ である。

(4) この「外力」のもとでも小問 (2) のような運動にならないためには、$D_1$ が十分に小さいことが必要である。$D_1=0$ として $p^2$ を求め、式 (D) の特解を求めよ。

(5) 小問 (4) の場合、式 (D) の一般解を求めよ。

次いで、初期条件を $t=0$ で $x=a,dx/dt=0$ として、式 (C) の近似解を求めよ（$\omega_0$ を使わず、$p$ をそのまま使って良い）。

题目描述

在两端固定并绷紧的金属丝中点安装质量为 $m$ 的质点，使其沿垂直于金属丝的方向振动，会出现与位移三次方成正比、也与金属丝杨氏模量成正比的回复力。下面用探索性方法求这类振动的近似解。

(1) 质量为 $m$、角频率为 $\omega_0$ 的一维谐振子

$$m\frac{d^2x}{dt^2}+m\omega_0^2x=0\tag{A}$$

的通解为 $x=A\cos(\omega_0t+\alpha)$，其中 $A,\alpha$ 为常数。若施加周期外力 $F\cos\omega t$，其中 $F,\omega$ 为常数且 $\omega\neq\omega_0$，运动方程为

$$m\frac{d^2x}{dt^2}+m\omega_0^2x=F\cos\omega t.\tag{B}$$

令 $x=B_1\cos\omega t$，通过确定 $B_1$ 求式 (B) 的特解，再求通解。

(2) 当外力角频率 $\omega=\omega_0$ 时，(1) 的方法不能求解。令 $x=B_2t\sin\omega_0t$，通过确定 $B_2$ 求式 (B) 的特解，并说明这是什么运动。

(3) 设具有三次回复力的振动满足

$$m\frac{d^2x}{dt^2}+m\omega_0^2x+mCx^3=0,\tag{C}$$

考虑 $|\omega_0^2x|\gg|Cx^3|$ 的情况。

从角频率 $p$ 略偏离 $\omega_0$、且 $\omega_0^2\gg|\omega_0^2-p^2|$ 的简谐振动出发求近似解。将 $x=a\cos pt$ 代入式 (C)，将其变形为类似式 (B) 的、角频率为 $p$ 的振子受周期外力作用的形式：

$$\frac{d^2x}{dt^2}+p^2x=D_1\cos pt+D_2\cos3pt.\tag{D}$$

求 $D_1,D_2$。三倍角公式为 $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$。

(4) 要使该“外力”不导致 (2) 中的运动，$D_1$ 需要足够小。令 $D_1=0$，求 $p^2$ 以及式 (D) 的特解。

(5) 对 (4) 的情况，求式 (D) 的通解。然后施加初始条件 $t=0$ 时 $x=a,dx/dt=0$，求式 (C) 的近似解。允许直接保留 $p$，不必换回 $\omega_0$。

Kai

(1)

$B_1(\omega_0^2-\omega^2)=F/m$ より

$$\boxed{x=A\cos(\omega_0t+\alpha)+\frac{F}{m(\omega_0^2-\omega^2)}\cos\omega t.}$$

(2)

$(d^2/dt^2+\omega_0^2)(t\sin\omega_0t)=2\omega_0\cos\omega_0t$ なので

$$\boxed{x_p=\frac{F}{2m\omega_0}t\sin\omega_0t.}$$

外力と固有振動の共鳴により、振幅が時間に比例して増大する。

(3)

$\ddot x+p^2x=(p^2-\omega_0^2)x-Cx^3$ に近似波形を代入して

$$\boxed{D_1=a(p^2-\omega_0^2)-\frac34Ca^3,\qquad D_2=-\frac14Ca^3.}$$

(4)

$$\boxed{p^2=\omega_0^2+\frac34Ca^2,\qquad x_p=\frac{Ca^3}{32p^2}\cos3pt.}$$

特解の分母は $p^2-(3p)^2=-8p^2$ である。

(5)

一般解は $A\cos pt+B\sin pt+Ca^3\cos3pt/(32p^2)$。初期条件より

$$\boxed{x(t)\simeq a\cos pt+\frac{Ca^3}{32p^2}(\cos3pt-\cos pt).}$$

適用条件は $|C|a^2/\omega_0^2\ll1$、$p^2>0$。この近似は周波数の一次補正を取り込み、残差は非線形性の二次である。

Reference

• 京都大学公式問題（2021年度 II、PDF 4ページ）