京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2020年8月実施 II-1

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• 定态微扰论
• 量子变分法

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

1 次元定常束縛状態を表すシュレディンガー方程式

$$H\phi(x)=\left(\frac{1}{2m}p^2+\frac{m\omega^2}{2}x^2+\lambda x^4\right)\phi(x)=E\phi(x)\tag{A}$$

の最低エネルギー固有値 $E_0$ を摂動論と変分法の 2 通りで計算してみよう。ここで、$m,\omega,\lambda$ は正の定数である。また、$p=-i\hbar(d/dx)$ であり、$\hbar$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものである。

摂動論

無摂動ハミルトニアン $H^{(0)}$ と摂動項 $H^{(1)}$ をそれぞれ

$$H^{(0)}\equiv\frac{1}{2m}p^2+\frac{m\omega^2}{2}x^2,\qquad H^{(1)}\equiv\lambda x^4\tag{B}$$

とする。

(1) 消滅・生成演算子

$$a=\frac{i}{\sqrt{2\hbar m\omega}}p+\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x,\qquad a^\dagger=\frac{-i}{\sqrt{2\hbar m\omega}}p+\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x\tag{C}$$

を用いて $H^{(0)}$ を表せ。

(2) $H^{(0)}$ の基底状態を $|\Omega\rangle$ として、$\langle\Omega|x^4|\Omega\rangle$ を求めよ。ここで、$a|\Omega\rangle=0$、$\langle\Omega|a^\dagger=0$ であることと、$\langle\Omega|$ と $|\Omega\rangle$ の間の $a$ と $a^\dagger$ の個数が同じでないと 0 になることに注意せよ。

(3) $H$ の最低エネルギー固有値 $E_0$ を摂動論の公式を用いて $\lambda$ の 1 次まで求めよ。

変分法

式 (A) で与えられるハミルトニアン $H$ の最低エネルギー固有値を $E_0$ とする。このとき、波動関数 $\phi(x)=\langle x|\phi\rangle$ に対して次のレイリー商

$$R[\phi]=\frac{\langle\phi|H|\phi\rangle}{\langle\phi|\phi\rangle} =\frac{\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\phi(x)^*H\phi(x)}{\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\phi(x)^*\phi(x)}\tag{D}$$

（$\phi(x)^*$ は $\phi(x)$ の複素共役）を定義すれば、$R[\phi]$ はどんな $\phi(x)$ に対しても常に $E_0$ 以上である。また、最小値 $E_0$ を与える $\phi(x)$ は基底状態に対応する。

一般にはすべての波動関数を調べつくすことはできないため、レイリー商を最小にする波動関数を見つけることは容易ではない。そこで、ある連続変数 $c$ をパラメーターとして持つ試行関数の集合 $\{\phi_c(x)\}$ を用意し、レイリー商 $R[\phi_c]$ をパラメーター $c$ の関数とみなしてその最小値を与える $c$ を見つける。すると、その $c$ に対応する試行関数は、今用意した試行関数の集合の中では真の基底状態に最も近いものとみなせる。またそのときのレイリー商の値は、最低エネルギー固有値 $E_0$ の最もよい近似値を与える。

以下、変分法の試行関数として

$$\phi_c(x)=\langle x|\phi_c\rangle=e^{-(c/2)x^2}\qquad(c>0)\tag{E}$$

を採用する。

(4) レイリー商 $f(c)\equiv R[\phi_c]$ を $c$ の関数として求めよ：

$$f(c)=R[\phi_c]=\frac{\langle\phi_c|H|\phi_c\rangle}{\langle\phi_c|\phi_c\rangle}.\tag{F}$$

ただし、必要ならば次の積分公式を用いよ：

$$\int_{-\infty}^{\infty}dx\,x^{2n}e^{-cx^2}=\sqrt{\frac\pi c}\frac{(2n)!}{n!(4c)^n}\qquad(c>0).\tag{G}$$

(5) パラメーター $c$ が $f(c)=R[\phi_c]$ を最小化するとき、その $c$ が満たすべき方程式を

$$c^3+\cdots=0\tag{H}$$

の形で表せ。

(6) $\lambda$ が十分小さい（$\lambda\ll m^2\omega^3/\hbar$）とする。上で得られた式 (H) の解 $c=c(\lambda)$ を $\lambda$ の 1 次まで求めよ。

(7) $\lambda$ が十分小さいとき（$\lambda\ll m^2\omega^3/\hbar$）の最低エネルギー固有値の評価値 $f(c(\lambda))$ を $\lambda$ の 1 次まで求めよ。

(8) 逆に、$\lambda$ が十分大きい（$\lambda\gg m^2\omega^3/\hbar$）とする。上で得られた式 (H) の解 $c=c(\lambda)$ の $\lambda\to\infty$ での振る舞いを評価することにより、$\lambda\to\infty$ における $f(c(\lambda))$ の漸近形の最初の項を求めよ。

题目描述

分别用微扰论和变分法计算描述一维定态束缚态的薛定谔方程

$$H\phi(x)=\left(\frac{1}{2m}p^2+\frac{m\omega^2}{2}x^2+\lambda x^4\right)\phi(x)=E\phi(x)\tag{A}$$

的最低能量本征值 $E_0$。其中 $m,\omega,\lambda$ 为正常数，$p=-i\hbar(d/dx)$，$\hbar$ 为普朗克常数除以 $2\pi$。

微扰论

无微扰哈密顿量和微扰项分别定义为

$$H^{(0)}\equiv\frac{1}{2m}p^2+\frac{m\omega^2}{2}x^2,\qquad H^{(1)}\equiv\lambda x^4.\tag{B}$$

(1) 用湮灭和产生算符

$$a=\frac{i}{\sqrt{2\hbar m\omega}}p+\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x,\qquad a^\dagger=\frac{-i}{\sqrt{2\hbar m\omega}}p+\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x\tag{C}$$

表示 $H^{(0)}$。

(2) 设 $H^{(0)}$ 的基态为 $|\Omega\rangle$，求 $\langle\Omega|x^4|\Omega\rangle$。注意 $a|\Omega\rangle=0$、$\langle\Omega|a^\dagger=0$，以及当 $\langle\Omega|$ 和 $|\Omega\rangle$ 之间的 $a$ 与 $a^\dagger$ 数量不同时，结果为 0。

(3) 利用微扰公式，求 $H$ 的最低能量本征值 $E_0$ 至 $\lambda$ 的一阶。

变分法

设式 (A) 的哈密顿量 $H$ 的最低能量本征值为 $E_0$。对波函数 $\phi(x)=\langle x|\phi\rangle$ 定义瑞利商

$$R[\phi]=\frac{\langle\phi|H|\phi\rangle}{\langle\phi|\phi\rangle} =\frac{\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\phi(x)^*H\phi(x)}{\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\phi(x)^*\phi(x)}.\tag{D}$$

这里 $\phi(x)^*$ 为复共轭。对任意 $\phi(x)$，$R[\phi]$ 始终不小于 $E_0$；使其达到最小值 $E_0$ 的波函数对应基态。

通常无法遍历所有波函数，因而很难直接找到使瑞利商最小的波函数。为此，准备一个以连续变量 $c$ 为参数的试探函数集合 $\{\phi_c(x)\}$，把 $R[\phi_c]$ 视为 $c$ 的函数，找出使其最小的 $c$。该 $c$ 对应的试探函数可视为此集合中最接近真实基态的函数，而此时瑞利商给出最低能量本征值 $E_0$ 的最佳近似。

以下采用试探函数

$$\phi_c(x)=\langle x|\phi_c\rangle=e^{-(c/2)x^2}\qquad(c>0).\tag{E}$$

(4) 求作为 $c$ 函数的瑞利商

$$f(c)=R[\phi_c]=\frac{\langle\phi_c|H|\phi_c\rangle}{\langle\phi_c|\phi_c\rangle}.\tag{F}$$

必要时可使用积分公式

$$\int_{-\infty}^{\infty}dx\,x^{2n}e^{-cx^2}=\sqrt{\frac\pi c}\frac{(2n)!}{n!(4c)^n}\qquad(c>0).\tag{G}$$

(5) 当 $c$ 使 $f(c)=R[\phi_c]$ 最小时，将 $c$ 满足的方程写为

$$c^3+\cdots=0.\tag{H}$$

(6) 设 $\lambda\ll m^2\omega^3/\hbar$，求式 (H) 的解 $c=c(\lambda)$ 至 $\lambda$ 的一阶。

(7) 在同样的弱耦合条件下，求最低能量本征值的估计 $f(c(\lambda))$ 至 $\lambda$ 的一阶。

(8) 反之，设 $\lambda\gg m^2\omega^3/\hbar$。通过估计式 (H) 的解 $c=c(\lambda)$ 在 $\lambda\to\infty$ 时的行为，求 $f(c(\lambda))$ 渐近式的首项。

Kai

(1)

$[a,a^\dagger]=1$ より $\boxed{H^{(0)}=\hbar\omega(a^\dagger a+1/2)}$。

(2)

$x=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}(a+a^\dagger)$、 $(a+a^\dagger)^2|\Omega\rangle=|\Omega\rangle+\sqrt2|2\rangle$ なので

$$\boxed{\langle x^4\rangle_0=3\left(\frac{\hbar}{2m\omega}\right)^2.}$$

(3)

$$\boxed{E_0=\frac{\hbar\omega}{2}+\frac{3\lambda\hbar^2}{4m^2\omega^2}+O(\lambda^2).}$$

(4)

$\langle x^2\rangle_c=1/(2c)$、$\langle x^4\rangle_c=3/(4c^2)$、$\langle p^2\rangle_c=\hbar^2c/2$ より

$$\boxed{f(c)=\frac{\hbar^2c}{4m}+\frac{m\omega^2}{4c}+\frac{3\lambda}{4c^2}.}$$

(5)

$f'(c)=0$ を整理すると

$$\boxed{c^3-\frac{m^2\omega^2}{\hbar^2}c-\frac{6m\lambda}{\hbar^2}=0.}$$

$c>0$ で $f''(c)=m\omega^2/(2c^3)+9\lambda/(2c^4)>0$、両端で $f\to\infty$ なので正の解は一意な最小点である。

(6)

$c=c_0+\lambda c_1+O(\lambda^2)$ とおく。定数項から $c_0=m\omega/\hbar$、一次の項から $2c_0^2c_1=6m/\hbar^2$。よって

$$\boxed{c(\lambda)=\frac{m\omega}{\hbar}+\frac{3\lambda}{m\omega^2}+O(\lambda^2).}$$

(7)

$\lambda=0$ で $f_c(c_0,0)=0$ のため、$c$ の変化は一次項に寄与しない。

$$\boxed{f(c(\lambda))=\frac{\hbar\omega}{2}+\frac{3\lambda\hbar^2}{4m^2\omega^2}+O(\lambda^2).}$$

(8)

三次方程式より $c\sim(6m\lambda/\hbar^2)^{1/3}$。$m\omega^2/(4c)$ は劣位で、最適点では $3\lambda/(4c^2)\sim\hbar^2c/(8m)$。したがって

$$\boxed{f(c(\lambda))\sim\frac{3\,6^{1/3}}8\left(\frac{\hbar^4\lambda}{m^2}\right)^{1/3}.}$$

これはガウス試行関数による変分上界の漸近形である。

Reference

• 京都大学公式問題（2021年度 II、PDF 2–3ページ）