跳到主要内容

京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2020年度 問題I-3-ABCD

标签：

Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

I-3A​

二次元平面内の質量 mm の質点が中心力ポテンシャル V(r)V(r) 内を動く。

  1. 極座標 (r,θ)(r,\theta) でラグランジアンを書け。
  2. 運動方程式を求め、運動の特徴を述べよ。

I-3B​

真空中で半径 aa の球面に総電荷 QQ が一様に分布する。球の内部も真空とし、中心を通る軸のまわりに角速度 ω\omega で回転させる。電荷分布は変わらない。透磁率を μ0\mu_0 とし SI 単位系を用いる。

  1. 回転軸からの極角が θ\theta と θ+dθ\theta+d\theta の間にある細い円環が、中心に作る磁束密度 dBd\boldsymbol B を求めよ。
  2. 全球面が中心に作る磁束密度の大きさを求めよ。

I-3C​

実関数 x(t)x(t) の方程式 x¨+2βx˙+ω02x=0\ddot x+2\beta\dot x+\omega_0^2x=0 を考える。β,ω0>0\beta,\omega_0>0、β≠ω0\beta\neq\omega_0 とする。

  1. 一般解を求めよ。
  2. x(0)=0x(0)=0 の解を求め、t>0t>0 の運動の特徴を述べよ。

I-3D​

  1. 測定量 u,vu,v から x=au−bvx=au-bv を求める。a,ba,b は定数であり、u,vu,v の分散が σu2,σv2\sigma_u^2,\sigma_v^2 のとき、xx の分散を書け。
  2. 137Cs^{137}\mathrm{Cs} の 662 keV662\,\mathrm{keV} ガンマ線を測る。線源を置いた10分間の計数は4900、線源を取り除いた20分間の背景計数は400であった。線源だけによる毎分の計数率とその誤差を求めよ。

题目描述​

A：平面中心力势 V(r)V(r) 中质点的极坐标拉格朗日量、运动方程和守恒性质。

B：半径 aa、总电荷 QQ 的均匀球壳以角速度 ω\omega 转动，内外均为真空。求极角 θ\theta 至 θ+dθ\theta+d\theta 的薄环在中心产生的磁场，再积分求整个球壳的中心磁场。

C：求 x¨+2βx˙+ω02x=0\ddot x+2\beta\dot x+\omega_0^2x=0 在 β≠ω0\beta\neq\omega_0 时的一般解，以及 x(0)=0x(0)=0 的解和运动特征。

D：(1) 给定 u,vu,v 的方差，求线性组合 au−bvau-bv 的方差；(2) 含源10分钟计数4900、背景20分钟计数400，求扣除背景后的每分钟计数与标准误差。

Kai​

I-3A​

(1) L=m2(r˙2+r2θ˙2)−V(r)\boxed{L=\frac m2(\dot r^2+r^2\dot\theta^2)-V(r)}。

(2) オイラー・ラグランジュ方程式から

mr¨=mrθ˙2−V′(r),ddt(mr2θ˙)=0.\boxed{m\ddot r=mr\dot\theta^2-V'(r),\qquad \frac d{dt}(mr^2\dot\theta)=0.}

角運動量 mr2θ˙mr^2\dot\theta、従って面積速度が保存する。時間に陽に依存しないため力学的エネルギーも保存する。

I-3B​

(1) 円環の電荷は dQ=(Q/2)sin⁡θ dθdQ=(Q/2)\sin\theta\,d\theta、電流は dI=ωdQ/(2π)dI=\omega dQ/(2\pi)。半径 asin⁡θa\sin\theta、中心からの軸方向距離 acos⁡θa\cos\theta の円電流が作る磁場より

dB=μ0Qω8πasin⁡3θ dθ eaxis.\boxed{d\boldsymbol B=\frac{\mu_0Q\omega}{8\pi a}\sin^3\theta\,d\theta\,\boldsymbol e_{\rm axis}.}

(2) ∫0πsin⁡3θ dθ=4/3\int_0^\pi\sin^3\theta\,d\theta=4/3 より

B=μ0∣Qω∣6πa.\boxed{B=\frac{\mu_0|Q\omega|}{6\pi a}.}

向きは正電荷の回転に対する右ねじの向きである。

I-3C​

(1) 特性根は −β±β2−ω02-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}。β>ω0\beta>\omega_0 なら、κ=β2−ω02\kappa=\sqrt{\beta^2-\omega_0^2} として

x=e−βt(Aeκt+Be−κt).x=e^{-\beta t}(Ae^{\kappa t}+Be^{-\kappa t}).

0<β<ω00<\beta<\omega_0 なら、Ω=ω02−β2\Omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2} として

x=e−βt(Acos⁡Ωt+Bsin⁡Ωt).x=e^{-\beta t}(A\cos\Omega t+B\sin\Omega t).

(2) 初速度を v0v_0 とすれば

x(t)={(v0/κ)e−βtsinh⁡κt(β>ω0),(v0/Ω)e−βtsin⁡Ωt(β<ω0).\boxed{x(t)=\begin{cases} (v_0/\kappa)e^{-\beta t}\sinh\kappa t &(\beta>\omega_0),\\ (v_0/\Omega)e^{-\beta t}\sin\Omega t &(\beta<\omega_0). \end{cases}}

前者は過減衰で、v0≠0v_0\neq0 なら原点を再び横切らずゼロへ戻る。後者は周期 2π/Ω2\pi/\Omega、包絡線 e−βte^{-\beta t} の減衰振動である。

I-3D​

(1) 一般には共分散も必要であり、厳密に

σx2=a2σu2+b2σv2−2abCov⁡(u,v).\boxed{\sigma_x^2=a^2\sigma_u^2+b^2\sigma_v^2-2ab\operatorname{Cov}(u,v).}

二つの測定が独立、または無相関なら最後の項がゼロとなる。分散二つだけでは、相関がある場合の数値は決まらない。

(2) 二回の独立なポアソン計数を Ns,NbN_s,N_b とすると、正味の計数率は r=Ns/10−Nb/20r=N_s/10-N_b/20。従って

r=470 min−1,σr=4900102+400202=50≃7.1 min−1.\boxed{r=470\,\mathrm{min^{-1}},\qquad \sigma_r=\sqrt{\frac{4900}{10^2}+\frac{400}{20^2}}=\sqrt{50}\simeq7.1\,\mathrm{min^{-1}}.}

Reference​

本页目录