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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2020年度 問題I-1

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

電荷 qq の点電荷の時刻 tt における位置、速度、加速度を r,v,a\boldsymbol r,\boldsymbol v,\boldsymbol a とする。観測点 R\boldsymbol R で時刻 t′t' に観測される場は、d=∣R−r∣d=|\boldsymbol R-\boldsymbol r|、k=(R−r)/d\boldsymbol k=(\boldsymbol R-\boldsymbol r)/d、s=d(1−k⋅v/c)s=d(1-\boldsymbol k\cdot\boldsymbol v/c)、t′=t+d/ct'=t+d/c として

E=qd4πε0s3(1−v2c2)(k−vc)+qd24πε0c2s3k×[(k−vc)×a],B=k×Ec.\boldsymbol E=\frac{qd}{4\pi\varepsilon_0s^3}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) \left(\boldsymbol k-\frac{\boldsymbol v}{c}\right) +\frac{qd^2}{4\pi\varepsilon_0c^2s^3}\boldsymbol k\times \left[\left(\boldsymbol k-\frac{\boldsymbol v}{c}\right)\times\boldsymbol a\right],\qquad \boldsymbol B=\frac{\boldsymbol k\times\boldsymbol E}{c}.

SI 単位系を用いる。

  1. 十分遠方でのポインティングベクトルの主要項を、E,B\boldsymbol E,\boldsymbol B を使わず表せ。
  2. v≪cv\ll c とし、k\boldsymbol k と a\boldsymbol a の角を θ\theta として、単位時間あたり放射エネルギーの角分布を求め、図示せよ。
  3. 全方向への放射電力が W=q2a2/(6πε0c3)W=q^2a^2/(6\pi\varepsilon_0c^3) となることを示せ。

次に質量 mm の電荷が一様磁場 B=(0,0,B)\boldsymbol B=(0,0,B) 中で運動する。放射反作用を含む運動方程式を、正の定数 β\beta を用いて

mr¨=F+mβr...m\ddot{\boldsymbol r}=\boldsymbol F+m\beta\dddot{\boldsymbol r}

とし、F=qr˙×B\boldsymbol F=q\dot{\boldsymbol r}\times\boldsymbol B とする。

  1. xyxy 平面内の運動について、V=x˙+iy˙V=\dot x+i\dot y が満たす微分方程式を求めよ。
  2. ∣qBβ/m∣≪1|qB\beta/m|\ll1 の下で方程式を解き、運動エネルギーの時間変化率を求めよ。
  3. 減衰が小さく軌道がほぼ円のとき、(3) の WW を VV で表せ。
  4. (5)(6) の比較から β\beta を決めよ。電子の場合の数値を有効数字1桁で求めよ。mec2=511 keVm_ec^2=511\,\mathrm{keV}、ℏc=197 MeV fm\hbar c=197\,\mathrm{MeV\,fm}、α=e2/(4πε0ℏc)=1/137\alpha=e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar c)=1/137、c=3.0×108 m/sc=3.0\times10^8\,\mathrm{m/s} を使ってよい。
  5. 電子のほぼ円運動の周波数が 10 GHz10\,\mathrm{GHz} の場合、V(t)V(t) の減衰時間を求めよ。

题目描述​

点电荷的延迟电磁场由上式给定，dd 是源到观测点的距离，k\boldsymbol k 为传播单位矢量，s=d(1−k⋅v/c)s=d(1-\boldsymbol k\cdot\boldsymbol v/c)。

  1. 求远区主要能流。
  2. 非相对论极限下，求相对于加速度方向的辐射角分布并画图。
  3. 积分得到总辐射功率。
  4. 均匀 zz 向磁场中加入 mβr...m\beta\dddot{\boldsymbol r} 的反作用，求复速度 V=x˙+iy˙V=\dot x+i\dot y 的方程。
  5. 弱反作用下求物理解与动能变化率。
  6. 近圆轨道时把辐射功率写成 VV 的函数。
  7. 用能量守恒求 β\beta，并按给定常数估算电子的数值。
  8. 频率为 10 GHz10\,\mathrm{GHz} 时求速度振幅的衰减时间。

Kai​

(1)–(3)​

(1) 遠方では d−1d^{-1} の放射電場が支配し、k⋅Erad=0\boldsymbol k\cdot\boldsymbol E_{\rm rad}=0 である。したがって

Srad=q2d416π2ε0c3s6∣k×[(k−vc)×a]∣2k.\boxed{\boldsymbol S_{\rm rad}= \frac{q^2d^4}{16\pi^2\varepsilon_0c^3s^6} \left|\boldsymbol k\times\left[\left(\boldsymbol k-\frac{\boldsymbol v}c\right)\times\boldsymbol a\right]\right|^2\boldsymbol k.}

(2) v≪cv\ll c では s≃ds\simeq d。よって

dWdΩ=d2∣S∣=q2a216π2ε0c3sin⁡2θ.\boxed{\frac{dW}{d\Omega}=d^2|\boldsymbol S|=\frac{q^2a^2}{16\pi^2\varepsilon_0c^3}\sin^2\theta.}

加速度軸上でゼロ、垂直方向で最大となる軸対称分布である。

非相対論的な点電荷の放射角分布

(3) ∫sin⁡2θ dΩ=2π∫0πsin⁡3θ dθ=8π/3\int\sin^2\theta\,d\Omega=2\pi\int_0^\pi\sin^3\theta\,d\theta=8\pi/3 より

W=q2a26πε0c3.\boxed{W=\frac{q^2a^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}.}

(4)・(5)​

ωc=qB/m\omega_c=qB/m とおくと

βV¨−V˙−iωcV=0.\boxed{\beta\ddot V-\dot V-i\omega_cV=0.}

特性根は λ±=[1±1+4iβωc]/(2β)\lambda_\pm=[1\pm\sqrt{1+4i\beta\omega_c}]/(2\beta)。λ+\lambda_+ は β→0\beta\to0 でも急増する暴走解なので、弱い放射減衰を表す解ではその係数をゼロとする。減衰する根を二次まで展開すると

λ−=−iωc−βωc2+O(β2ωc3),V(t)≃V(0)e−iωct−βωc2t.\lambda_-=-i\omega_c-\beta\omega_c^2+O(\beta^2\omega_c^3),\qquad V(t)\simeq V(0)e^{-i\omega_ct-\beta\omega_c^2t}.

K=m∣V∣2/2K=m|V|^2/2 なので

K˙≃−2βωc2K=−mβωc2∣V∣2.\boxed{\dot K\simeq-2\beta\omega_c^2K=-m\beta\omega_c^2|V|^2.}

(6)–(8)​

(6) 円運動では a≃∣ωcV∣a\simeq|\omega_cV| より

W≃q2ωc2∣V∣26πε0c3.\boxed{W\simeq\frac{q^2\omega_c^2|V|^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}.}

(7) −K˙=W-\dot K=W を比較して

β=q26πε0mc3.\boxed{\beta=\frac{q^2}{6\pi\varepsilon_0mc^3}.}

電子では β=(2/3)α(ℏc)/[(mec2)c]≃6.3×10−24 s\beta=(2/3)\alpha(\hbar c)/[(m_ec^2)c]\simeq6.3\times10^{-24}\,\mathrm s。有効数字1桁では 6×10−24 s\boxed{6\times10^{-24}\,\mathrm s}。

(8) 周波数 f=1010 Hzf=10^{10}\,\mathrm{Hz} に対して ∣ωc∣=2πf|\omega_c|=2\pi f である。速度振幅の減衰時間は

τV=1β(2πf)2≃4×101 s.\boxed{\tau_V=\frac1{\beta(2\pi f)^2}\simeq4\times10^1\,\mathrm s.}

運動エネルギーの減衰時間はこの半分である。

Reference​

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