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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2020年度 問題II-2

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

質量 m>0m>0、角振動数 ω>0\omega>0 の一次元調和振動子をハイゼンベルク描像で扱う。[q^,p^]=iℏ[\hat q,\hat p]=i\hbar、H^=p^2/(2m)+mω2q^2/2\hat H=\hat p^2/(2m)+m\omega^2\hat q^2/2 とする。複素共役を ∗*、エルミート共役を †\dagger、時間微分を点で表す。

  1. ω\omega 一定のとき、a^=mω/(2ℏ)(q^+ip^/(mω))eiωt\hat a=\sqrt{m\omega/(2\hbar)}(\hat q+i\hat p/(m\omega))e^{i\omega t} とおく。[a^,a^†][\hat a,\hat a^\dagger] を求め、H^\hat H を N^=a^†a^\hat N=\hat a^\dagger\hat a で表せ。
  2. O^˙=∂tO^+(i/ℏ)[H^,O^]\dot{\hat O}=\partial_t\hat O+(i/\hbar)[\hat H,\hat O] により a^˙\dot{\hat a} を求めよ。

以後 ω=ω(t)\omega=\omega(t) とする。

  1. u¨+ω2u=0\ddot u+\omega^2u=0 を満たす複素関数が t=0t=0 で uu˙∗−u∗u˙=iℏ/mu\dot u^*-u^*\dot u=i\hbar/m を満たすとき、この条件が全時刻で成り立つことを示せ。
  2. q^=b^u+b^†u∗\hat q=\hat bu+\hat b^\dagger u^*、p^=m(b^u˙+b^†u˙∗)\hat p=m(\hat b\dot u+\hat b^\dagger\dot u^*) と表したとき、[b^,b^†][\hat b,\hat b^\dagger] と b^˙\dot{\hat b} を求めよ。
  3. ω(t)→ω∓\omega(t)\to\omega_\mp (t→∓∞t\to\mp\infty) とする。上の微分方程式と規格化条件を満たし、u1→Ne−iω−tu_1\to\mathcal N e^{-i\omega_-t} (t→−∞t\to-\infty)、u2→Me−iω+tu_2\to\mathcal M e^{-i\omega_+t} (t→+∞t\to+\infty) となる解の ∣N∣,∣M∣|\mathcal N|,|\mathcal M| を求めよ。
  4. u1→αMe−iω+t+βM∗eiω+tu_1\to\alpha\mathcal M e^{-i\omega_+t}+\beta\mathcal M^*e^{i\omega_+t}、u2→γNe−iω−t+δN∗eiω−tu_2\to\gamma\mathcal N e^{-i\omega_-t}+\delta\mathcal N^*e^{i\omega_-t} とする。解の一意性から γ=α∗,δ=−β\gamma=\alpha^*,\delta=-\beta が成立する。∣α∣|\alpha| を β\beta で表せ。
  5. u1,u2u_1,u_2 に対応する演算子について b^2=αb^1+β∗b^1†\hat b_2=\alpha\hat b_1+\beta^*\hat b_1^\dagger が成立する。b^1∣in⟩=0\hat b_1|\mathrm{in}\rangle=0 で定まる規格化状態の N^2=b^2†b^2\hat N_2=\hat b_2^\dagger\hat b_2 の期待値を求めよ。

题目描述​

在海森堡绘景中研究质量 mm、随时间变化的频率 ω(t)\omega(t) 的一维谐振子，正则对易关系和哈密顿量如上。

  1. 频率恒定时，求给定 a^\hat a 的对易关系，并用数算符表示哈密顿量。
  2. 求其总时间导数。
  3. 证明经典模函数 uu 的 Wronskian 归一化守恒。
  4. 以模函数展开位置和动量，求展开算符的对易关系和时间导数。
  5. 频率在正负无穷趋于常数，求纯正频模的归一化常数。
  6. 求 Bogoliubov 系数满足的模长关系。
  7. 求初始真空中的末态粒子数期望。

Kai​

(1)・(2)​

位相因子は交換関係で相殺され、[q^,p^]=iℏ[\hat q,\hat p]=i\hbar から

[a^,a^†]=1,H^=ℏω(N^+12).\boxed{[\hat a,\hat a^\dagger]=1,\qquad \hat H=\hbar\omega(\hat N+\tfrac12).}

[N^,a^]=−a^[\hat N,\hat a]=-\hat a より、陽な時間微分 iωa^i\omega\hat a と交換子の項が相殺し、a^˙=0\boxed{\dot{\hat a}=0}。

(3)・(4)​

(3) W=uu˙∗−u∗u˙W=u\dot u^*-u^*\dot u とおけば

W˙=uu¨∗−u∗u¨=−ω2uu∗+ω2u∗u=0.\dot W=u\ddot u^*-u^*\ddot u=-\omega^2uu^*+\omega^2u^*u=0.

従って初期の W=iℏ/mW=i\hbar/m が保存される。

(4) 展開を正準交換関係へ代入すると [q^,p^]=mW[b^,b^†][\hat q,\hat p]=mW[\hat b,\hat b^\dagger]。従って [b^,b^†]=1\boxed{[\hat b,\hat b^\dagger]=1}。また q^˙=p^/m\dot{\hat q}=\hat p/m と p^˙=−mω2q^\dot{\hat p}=-m\omega^2\hat q から

ub^˙+u∗b^˙†=0,u˙b^˙+u˙∗b^˙†=0.u\dot{\hat b}+u^*\dot{\hat b}^\dagger=0,\qquad \dot u\dot{\hat b}+\dot u^*\dot{\hat b}^\dagger=0.

係数行列の行列式は W≠0W\neq0 なので b^˙=0\boxed{\dot{\hat b}=0}。

(5)・(6)​

(5) u=Ce−iωtu=Ce^{-i\omega t} に対して W=2iω∣C∣2W=2i\omega|C|^2。よって

∣N∣=ℏ2mω−,∣M∣=ℏ2mω+.\boxed{|\mathcal N|=\sqrt{\frac\hbar{2m\omega_-}},\qquad |\mathcal M|=\sqrt{\frac\hbar{2m\omega_+}}.}

(6) u1=αu2+βu2∗u_1=\alpha u_2+\beta u_2^* の Wronskian は (∣α∣2−∣β∣2)iℏ/m(|\alpha|^2-|\beta|^2)i\hbar/m となる。両方の規格化を比較して

∣α∣2−∣β∣2=1,∣α∣=1+∣β∣2.\boxed{|\alpha|^2-|\beta|^2=1,\qquad |\alpha|=\sqrt{1+|\beta|^2}.}

(7)​

b^1∣in⟩=0\hat b_1|\mathrm{in}\rangle=0 と [b^1,b^1†]=1[\hat b_1,\hat b_1^\dagger]=1 から

⟨in∣N^2∣in⟩=∣β∣2⟨in∣b^1b^1†∣in⟩=∣β∣2.\boxed{\langle\mathrm{in}|\hat N_2|\mathrm{in}\rangle =|\beta|^2\langle\mathrm{in}|\hat b_1\hat b_1^\dagger|\mathrm{in}\rangle =|\beta|^2.}

Reference​

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