京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2019年8月実施 問題I-1

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• 电偶极辐射
• 洛伦兹力与带电粒子运动

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

点電荷の運動により生じる電磁波の放射について考えよう。点電荷の電荷量を $q$、時刻 $t$ での点電荷の位置ベクトルを $\boldsymbol r$、速度を $\boldsymbol v$、加速度を $\boldsymbol a$ とする。光速 $c$ と真空の誘電率 $\varepsilon_0$ を用いて、観測点（位置ベクトル $\boldsymbol R$）における時刻 $t'$ での電場 $\boldsymbol E$ と磁束密度 $\boldsymbol B$ は以下の表式で与えられる。

$$\begin{aligned} \boldsymbol E={}&\frac{q|\boldsymbol R-\boldsymbol r|}{4\pi\varepsilon_0s^3} \left(1-\frac{|\boldsymbol v|^2}{c^2}\right)\left(\boldsymbol\kappa-\frac{\boldsymbol v}{c}\right)\\ &+\frac{q|\boldsymbol R-\boldsymbol r|^2}{4\pi\varepsilon_0c^2s^3} \boldsymbol\kappa\times\left[\left(\boldsymbol\kappa-\frac{\boldsymbol v}{c}\right)\times\boldsymbol a\right], \end{aligned}\tag{A}$$

$$\boldsymbol B=\frac{\boldsymbol\kappa\times\boldsymbol E}{c}.\tag{B}$$

ここで、

$$t'=t+\frac{|\boldsymbol R-\boldsymbol r|}{c},\qquad \boldsymbol\kappa=\frac{\boldsymbol R-\boldsymbol r}{|\boldsymbol R-\boldsymbol r|},\qquad s=|\boldsymbol R-\boldsymbol r|\left(1-\boldsymbol\kappa\cdot\frac{\boldsymbol v}{c}\right)$$

である。点電荷から十分遠方の観測点に対して、以下の小問 (1)–(3) に答えよ。なお、解答は SI 単位系で述べよ。

(1) ポインティングベクトルの主要項を求めよ。$\boldsymbol E$ および $\boldsymbol B$ を用いない式とすること。なお、必要ならば、ベクトル $\boldsymbol A,\boldsymbol C,\boldsymbol D$ に対して

$$\boldsymbol A\times(\boldsymbol C\times\boldsymbol D) =(\boldsymbol A\cdot\boldsymbol D)\boldsymbol C-(\boldsymbol A\cdot\boldsymbol C)\boldsymbol D$$

の関係式を用いよ。

(2) $\boldsymbol\kappa$ と $\boldsymbol a$ のなす角を $\theta$ とおき、速度の大きさが光速に比べて十分に小さい場合に点電荷から単位時間あたりに放出されるエネルギーの角度分布を求め、図示せよ。

(3) 単位時間あたりに全方位に放出されるエネルギーは、

$$W=\frac{q^2|\boldsymbol a|^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\tag{C}$$

で表せることを示せ。

次に、質量 $m$、電荷量 $q$ の点電荷が一様な磁束密度 $\boldsymbol B=(0,0,B)$ のもとにあるとする。ローレンツ力 $\boldsymbol F(t)$ のもとで運動しているこの点電荷は、電磁波を放射しており、それに伴う反作用として減衰力を受けている。点電荷の運動方程式は正の定数 $\beta$ を用いて

$$m\frac{d^2\boldsymbol r(t)}{dt^2}=\boldsymbol F(t)+m\beta\frac{d^3\boldsymbol r(t)}{dt^3}\tag{D}$$

のように書けるとして、小問 (4)–(8) に答えよ。なお、解答は SI 単位系で述べよ。

(4) 点電荷は $xy$ 面内のみで運動するものとし、その座標を $(x,y,0)$ とおく。複素変数 $V(t)=dx/dt+i\,dy/dt$ に対する微分方程式を書き下せ。ここで、$i$ は虚数単位である。

(5) $|qB\beta/m|\ll1$ として小問 (4) の微分方程式を解くことにより、点電荷の運動エネルギーの時間変化率を求めよ。

(6) この点電荷の軌跡がほぼ円軌道となる程度に減衰力が小さいとする。このとき、小問 (3) の式 (C) で与えられる $W$ を $V$ で表せ。

(7) 小問 (5)、(6) の結果を比較することにより、式 (D) の右辺第二項の定数 $\beta$ を決定せよ。また、点電荷は電子（質量 $m_e$、電荷量 $e$）であるとして、$\beta$ の大きさを有効数字 1 桁で求めよ。ただし、$m_ec^2=511\,\mathrm{keV}$、$\hbar c=197\,\mathrm{MeV\,fm}$、微細構造定数 $\alpha=e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar c)=1/137$、光速 $c=3.0\times10^8\,\mathrm{m/s}$ のうち必要なものを用いてよい。ここで $\hbar$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものである。

(8) 小問 (7) の条件を満たし、およその円運動の周期が $10\,\mathrm{GHz}$ の場合に、$V(t)$ の減衰時間を求めよ。

题目描述

考虑运动点电荷产生的电磁辐射。点电荷的电荷量为 $q$，时刻 $t$ 的位置矢量、速度、加速度分别为 $\boldsymbol r,\boldsymbol v,\boldsymbol a$。用光速 $c$ 和真空介电常数 $\varepsilon_0$，位置矢量为 $\boldsymbol R$ 的观测点在时刻 $t'$ 的电场和磁感应强度表示为

$$\begin{aligned} \boldsymbol E={}&\frac{q|\boldsymbol R-\boldsymbol r|}{4\pi\varepsilon_0s^3} \left(1-\frac{|\boldsymbol v|^2}{c^2}\right)\left(\boldsymbol\kappa-\frac{\boldsymbol v}{c}\right)\\ &+\frac{q|\boldsymbol R-\boldsymbol r|^2}{4\pi\varepsilon_0c^2s^3} \boldsymbol\kappa\times\left[\left(\boldsymbol\kappa-\frac{\boldsymbol v}{c}\right)\times\boldsymbol a\right], \end{aligned}\tag{A}$$

$$\boldsymbol B=\frac{\boldsymbol\kappa\times\boldsymbol E}{c}.\tag{B}$$

这里

$$t'=t+\frac{|\boldsymbol R-\boldsymbol r|}{c},\qquad \boldsymbol\kappa=\frac{\boldsymbol R-\boldsymbol r}{|\boldsymbol R-\boldsymbol r|},\qquad s=|\boldsymbol R-\boldsymbol r|\left(1-\boldsymbol\kappa\cdot\frac{\boldsymbol v}{c}\right).$$

对距离点电荷足够远的观测点，回答 (1)–(3)，使用 SI 单位制。

(1) 求坡印廷矢量的主要项，表达式中不得使用 $\boldsymbol E$ 和 $\boldsymbol B$。必要时可使用矢量恒等式

$$\boldsymbol A\times(\boldsymbol C\times\boldsymbol D) =(\boldsymbol A\cdot\boldsymbol D)\boldsymbol C-(\boldsymbol A\cdot\boldsymbol C)\boldsymbol D.$$

(2) 设 $\boldsymbol\kappa$ 与 $\boldsymbol a$ 的夹角为 $\theta$。当速度大小远小于光速时，求点电荷单位时间辐射能量的角分布并画图。

(3) 证明单位时间向所有方向辐射的能量为

$$W=\frac{q^2|\boldsymbol a|^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}.\tag{C}$$

下面考虑质量 $m$、电荷量 $q$ 的点电荷在均匀磁场 $\boldsymbol B=(0,0,B)$ 中的运动。点电荷在洛伦兹力 $\boldsymbol F(t)$ 下运动并辐射电磁波，因反作用而受到阻尼力。设运动方程可用正常数 $\beta$ 写成

$$m\frac{d^2\boldsymbol r(t)}{dt^2}=\boldsymbol F(t)+m\beta\frac{d^3\boldsymbol r(t)}{dt^3}.\tag{D}$$

回答 (4)–(8)，使用 SI 单位制。

(4) 点电荷仅在 $xy$ 平面内运动，坐标为 $(x,y,0)$。写出复变量 $V(t)=dx/dt+i\,dy/dt$ 满足的微分方程，其中 $i$ 为虚数单位。

(5) 在 $|qB\beta/m|\ll1$ 条件下，求解 (4) 的微分方程，求点电荷动能随时间的变化率。

(6) 假设阻尼力足够小，使轨迹近似为圆。用 $V$ 表示 (3) 中式 (C) 给出的 $W$。

(7) 比较 (5)、(6) 的结果，确定式 (D) 右端第二项中的常数 $\beta$。若点电荷为电子（质量 $m_e$、电荷量 $e$），求 $\beta$ 的大小，保留 1 位有效数字。可按需使用 $m_ec^2=511\,\mathrm{keV}$、$\hbar c=197\,\mathrm{MeV\,fm}$、精细结构常数 $\alpha=e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar c)=1/137$、光速 $c=3.0\times10^8\,\mathrm{m/s}$。其中 $\hbar$ 是普朗克常数除以 $2\pi$。

(8) 满足 (7) 的条件，且近似圆运动的周期为 $10\,\mathrm{GHz}$ 时，求 $V(t)$ 的衰减时间。

Kai

(1)–(3)

(1) $d=|\boldsymbol R-\boldsymbol r|$ とおく。遠方では $d^{-1}$ の放射電場が支配し、$\boldsymbol\kappa\cdot\boldsymbol E_{\rm rad}=0$ である。したがって

$$\boxed{\boldsymbol S_{\rm rad}= \frac{q^2d^4}{16\pi^2\varepsilon_0c^3s^6} \left|\boldsymbol\kappa\times\left[\left(\boldsymbol\kappa-\frac{\boldsymbol v}c\right)\times\boldsymbol a\right]\right|^2\boldsymbol\kappa.}$$

(2) $v\ll c$ では $s\simeq d$。よって

$$\boxed{\frac{dW}{d\Omega}=d^2|\boldsymbol S|=\frac{q^2a^2}{16\pi^2\varepsilon_0c^3}\sin^2\theta.}$$

加速度軸上でゼロ、垂直方向で最大となる軸対称分布である。

(3) $\int\sin^2\theta\,d\Omega=2\pi\int_0^\pi\sin^3\theta\,d\theta=8\pi/3$ より

$$\boxed{W=\frac{q^2a^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}.}$$

(4)・(5)

$\omega_c=qB/m$ とおくと

$$\boxed{\beta\ddot V-\dot V-i\omega_cV=0.}$$

特性根は $\lambda_\pm=[1\pm\sqrt{1+4i\beta\omega_c}]/(2\beta)$。$\lambda_+$ は $\beta\to0$ でも急増する暴走解なので、弱い放射減衰を表す解ではその係数をゼロとする。減衰する根を二次まで展開すると

$$\lambda_-=-i\omega_c-\beta\omega_c^2+O(\beta^2\omega_c^3),\qquad V(t)\simeq V(0)e^{-i\omega_ct-\beta\omega_c^2t}.$$

$K=m|V|^2/2$ なので

$$\boxed{\dot K\simeq-2\beta\omega_c^2K=-m\beta\omega_c^2|V|^2.}$$

(6)–(8)

(6) 円運動では $a\simeq|\omega_cV|$ より

$$\boxed{W\simeq\frac{q^2\omega_c^2|V|^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}.}$$

(7) $-\dot K=W$ を比較して

$$\boxed{\beta=\frac{q^2}{6\pi\varepsilon_0mc^3}.}$$

電子では $\beta=(2/3)\alpha(\hbar c)/[(m_ec^2)c]\simeq6.3\times10^{-24}\,\mathrm s$。有効数字1桁では $\boxed{6\times10^{-24}\,\mathrm s}$。

(8) 原題には「周期が $10\,\mathrm{GHz}$」とあるが、GHz は周波数の単位である。以下では周波数が $10\,\mathrm{GHz}$ と解釈する。周波数 $f=10^{10}\,\mathrm{Hz}$ に対して $|\omega_c|=2\pi f$ である。速度振幅の減衰時間は

$$\boxed{\tau_V=\frac1{\beta(2\pi f)^2}\simeq4\times10^1\,\mathrm s.}$$

運動エネルギーの減衰時間はこの半分である。

Reference

• 京都大学公式原題（2020年度、PDF 2–3ページ）