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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2019年8月実施 問題II-2

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

質量 m (>0)m\ (>0)、時間に依存する角振動数 ω (>0)\omega\ (>0) の一次元調和振動子を考える。初期に基底状態にあった系が ω\omega の時間依存性によって励起されることを、ハイゼンベルグ描像で考察する。

プランク定数を 2π2\pi で割ったものを ℏ\hbar とする。位置と運動量に対応する演算子 q^\hat q と p^\hat p が交換関係

[q^,p^]=iℏ[\hat q,\hat p]=i\hbar

を満たし、ハミルトニアン H^\hat H が

H^=12mp^2+mω22q^2\hat H=\frac{1}{2m}\hat p^2+\frac{m\omega^2}{2}\hat q^2

で与えられるとする。ここで、角振動数 ω\omega は小問 (1) と (2) では定数とするが、小問 (3) 以降では時間の関数とする。以下では、時間変数を tt とし、XX の tt に関する微分を X˙\dot X、XX の複素共役を X∗X^*、XX のエルミート共役を X†X^\dagger と表記する。

(1) ω\omega を定数とする。演算子 a^\hat a を

a^=mω2ℏ(q^+imωp^)eiωt\hat a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat q+\frac{i}{m\omega}\hat p\right)e^{i\omega t}

と定義する。a^\hat a と a^†\hat a^\dagger の交換関係を求め、H^\hat H を演算子 N^≡a^†a^\hat N\equiv\hat a^\dagger\hat a で表せ。

(2) 一般に、演算子 O^(q^,p^,t)\hat O(\hat q,\hat p,t) の時間微分 O^˙\dot{\hat O} は

O^˙=∂O^∂t+iℏ[H^,O^]\dot{\hat O}=\frac{\partial\hat O}{\partial t}+\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat O]

で与えられる。小問 (1) で定義した a^\hat a の時間微分 a^˙\dot{\hat a} を計算せよ。

ここからは、時間に依存する角振動数を ω(t)\omega(t) と表記する。

(3) 時間の関数 u(t)u(t) が微分方程式

u¨(t)+ω(t)2u(t)=0(E)\ddot u(t)+\omega(t)^2u(t)=0\tag{E}

を任意の時刻で満たし、

u(t)u˙∗(t)−u∗(t)u˙(t)=iℏm(F)u(t)\dot u^*(t)-u^*(t)\dot u(t)=\frac{i\hbar}{m}\tag{F}

を時刻 t=0t=0 で満たすとする。この場合に、式 (F) が任意の tt で満たされることを示せ。

(4) q^\hat q と p^\hat p を、小問 (3) で導入した u(t)u(t) およびある演算子 b^\hat b とそのエルミート共役 b^†\hat b^\dagger によって

q^=b^u(t)+b^†u∗(t),p^=m[b^u˙(t)+b^†u˙∗(t)]\begin{aligned} \hat q&=\hat b u(t)+\hat b^\dagger u^*(t),\\ \hat p&=m\left[\hat b\dot u(t)+\hat b^\dagger\dot u^*(t)\right] \end{aligned}

と表す。このとき、[b^,b^†][\hat b,\hat b^\dagger] と b^˙\dot{\hat b} を計算せよ。

(5) t→−∞t\to-\infty と t→∞t\to\infty の極限で、関数 ω(t)\omega(t) がそれぞれ定数 ω−\omega_- と ω+\omega_+ に収束すると仮定する。そして、式 (E) と式 (F) を満たす u(t)u(t) のうち、t→−∞t\to-\infty で Ne−iω−t\mathcal N e^{-i\omega_-t} に漸近する解 u1(t)u_1(t) と、t→∞t\to\infty で Me−iω+t\mathcal M e^{-i\omega_+t} に漸近する解 u2(t)u_2(t) を用意する。すなわち、u1(t)u_1(t) と u2(t)u_2(t) は

u1(t)→Ne−iω−t(t→−∞),u2(t)→Me−iω+t(t→∞)\begin{aligned} u_1(t)&\to\mathcal N e^{-i\omega_-t} &&(t\to-\infty),\\ u_2(t)&\to\mathcal M e^{-i\omega_+t} &&(t\to\infty) \end{aligned}

を満たす。ここで、N\mathcal N と M\mathcal M は複素定数である。∣N∣|\mathcal N| と ∣M∣|\mathcal M| を計算せよ。

(6) 小問 (5) で導入した u1(t)u_1(t) は t→∞t\to\infty で

u1(t)→αMe−iω+t+βM∗eiω+t(t→∞)u_1(t)\to\alpha\mathcal M e^{-i\omega_+t}+\beta\mathcal M^*e^{i\omega_+t}\qquad(t\to\infty)

のように振る舞う。また、u2(t)u_2(t) は t→−∞t\to-\infty で

u2(t)→γNe−iω−t+δN∗eiω−t(t→−∞)u_2(t)\to\gamma\mathcal N e^{-i\omega_-t}+\delta\mathcal N^*e^{i\omega_-t}\qquad(t\to-\infty)

のように振る舞う。ここで、α,β,γ,δ\alpha,\beta,\gamma,\delta は複素定数である。このとき、微分方程式 (E) の解の一意性により、γ=α∗\gamma=\alpha^* および δ=−β\delta=-\beta という関係式が成り立つ。∣α∣|\alpha| を β\beta によって表せ。

(7) 小問 (6) で考察した u1(t)u_1(t) と u2(t)u_2(t) を使って、q^\hat q と p^\hat p を

q^=b^1u1(t)+b^1†u1∗(t)=b^2u2(t)+b^2†u2∗(t),p^=m[b^1u˙1(t)+b^1†u˙1∗(t)]=m[b^2u˙2(t)+b^2†u˙2∗(t)]\begin{aligned} \hat q&=\hat b_1u_1(t)+\hat b_1^\dagger u_1^*(t)\\ &=\hat b_2u_2(t)+\hat b_2^\dagger u_2^*(t),\\ \hat p&=m\left[\hat b_1\dot u_1(t)+\hat b_1^\dagger\dot u_1^*(t)\right]\\ &=m\left[\hat b_2\dot u_2(t)+\hat b_2^\dagger\dot u_2^*(t)\right] \end{aligned}

のように、それぞれ 2 通りに展開する。すると、小問 (6) の α\alpha と β\beta を使って、b^2\hat b_2 を b^1\hat b_1 と b^1†\hat b_1^\dagger の線型結合として次のように表すことができる。

b^2=αb^1+β∗b^1†.\hat b_2=\alpha\hat b_1+\beta^*\hat b_1^\dagger.

演算子 N^2≡b^2†b^2\hat N_2\equiv\hat b_2^\dagger\hat b_2 の期待値を、

b^1∣in⟩=0\hat b_1|\mathrm{in}\rangle=0

で定義される状態 ∣in⟩|\mathrm{in}\rangle に対して計算せよ。

题目描述​

考虑质量 m>0m>0、角频率 ω>0\omega>0 随时间变化的一维谐振子。在海森堡绘景中研究初始处于基态的系统如何因 ω\omega 的时间依赖而受到激发。

设 ℏ\hbar 为普朗克常数除以 2π2\pi，位置和动量算符 q^,p^\hat q,\hat p 满足

[q^,p^]=iℏ,[\hat q,\hat p]=i\hbar,

哈密顿量为

H^=12mp^2+mω22q^2.\hat H=\frac{1}{2m}\hat p^2+\frac{m\omega^2}{2}\hat q^2.

在 (1)、(2) 中 ω\omega 为常数，在 (3) 及之后为时间函数。时间变量为 tt，X˙\dot X 表示 XX 对 tt 的导数，X∗X^* 表示复共轭，X†X^\dagger 表示厄米共轭。

(1) 设 ω\omega 为常数，定义算符

a^=mω2ℏ(q^+imωp^)eiωt.\hat a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat q+\frac{i}{m\omega}\hat p\right)e^{i\omega t}.

求 a^\hat a 与 a^†\hat a^\dagger 的对易关系，用算符 N^≡a^†a^\hat N\equiv\hat a^\dagger\hat a 表示 H^\hat H。

(2) 一般地，算符 O^(q^,p^,t)\hat O(\hat q,\hat p,t) 的时间导数为

O^˙=∂O^∂t+iℏ[H^,O^].\dot{\hat O}=\frac{\partial\hat O}{\partial t}+\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat O].

计算 (1) 所定义的 a^\hat a 的时间导数 a^˙\dot{\hat a}。

以下将随时间变化的角频率记为 ω(t)\omega(t)。

(3) 时间函数 u(t)u(t) 在任意时刻满足微分方程

u¨(t)+ω(t)2u(t)=0,(E)\ddot u(t)+\omega(t)^2u(t)=0,\tag{E}

且在 t=0t=0 时满足

u(t)u˙∗(t)−u∗(t)u˙(t)=iℏm.(F)u(t)\dot u^*(t)-u^*(t)\dot u(t)=\frac{i\hbar}{m}.\tag{F}

证明式 (F) 在任意 tt 都成立。

(4) 用 (3) 引入的 u(t)u(t)、某算符 b^\hat b 及其厄米共轭 b^†\hat b^\dagger 表示位置和动量：

q^=b^u(t)+b^†u∗(t),p^=m[b^u˙(t)+b^†u˙∗(t)].\begin{aligned} \hat q&=\hat b u(t)+\hat b^\dagger u^*(t),\\ \hat p&=m\left[\hat b\dot u(t)+\hat b^\dagger\dot u^*(t)\right]. \end{aligned}

计算 [b^,b^†][\hat b,\hat b^\dagger] 和 b^˙\dot{\hat b}。

(5) 假设 ω(t)\omega(t) 在 t→−∞t\to-\infty 和 t→∞t\to\infty 时分别趋于常数 ω−\omega_- 和 ω+\omega_+。在同时满足式 (E)、(F) 的解中，取满足以下渐近条件的 u1(t),u2(t)u_1(t),u_2(t)：

u1(t)→Ne−iω−t(t→−∞),u2(t)→Me−iω+t(t→∞).\begin{aligned} u_1(t)&\to\mathcal N e^{-i\omega_-t} &&(t\to-\infty),\\ u_2(t)&\to\mathcal M e^{-i\omega_+t} &&(t\to\infty). \end{aligned}

其中 N,M\mathcal N,\mathcal M 为复常数。求 ∣N∣,∣M∣|\mathcal N|,|\mathcal M|。

(6) (5) 中的 u1(t)u_1(t) 在 t→∞t\to\infty 时满足

u1(t)→αMe−iω+t+βM∗eiω+t,u_1(t)\to\alpha\mathcal M e^{-i\omega_+t}+\beta\mathcal M^*e^{i\omega_+t},

而 u2(t)u_2(t) 在 t→−∞t\to-\infty 时满足

u2(t)→γNe−iω−t+δN∗eiω−t.u_2(t)\to\gamma\mathcal N e^{-i\omega_-t}+\delta\mathcal N^*e^{i\omega_-t}.

这里 α,β,γ,δ\alpha,\beta,\gamma,\delta 为复常数。由微分方程 (E) 解的唯一性，有 γ=α∗\gamma=\alpha^*、δ=−β\delta=-\beta。用 β\beta 表示 ∣α∣|\alpha|。

(7) 用 (6) 的 u1(t),u2(t)u_1(t),u_2(t) 对位置、动量分别作两种展开：

q^=b^1u1(t)+b^1†u1∗(t)=b^2u2(t)+b^2†u2∗(t),p^=m[b^1u˙1(t)+b^1†u˙1∗(t)]=m[b^2u˙2(t)+b^2†u˙2∗(t)].\begin{aligned} \hat q&=\hat b_1u_1(t)+\hat b_1^\dagger u_1^*(t)\\ &=\hat b_2u_2(t)+\hat b_2^\dagger u_2^*(t),\\ \hat p&=m\left[\hat b_1\dot u_1(t)+\hat b_1^\dagger\dot u_1^*(t)\right]\\ &=m\left[\hat b_2\dot u_2(t)+\hat b_2^\dagger\dot u_2^*(t)\right]. \end{aligned}

可用 (6) 中的 α,β\alpha,\beta 将 b^2\hat b_2 表示成 b^1,b^1†\hat b_1,\hat b_1^\dagger 的线性组合：

b^2=αb^1+β∗b^1†.\hat b_2=\alpha\hat b_1+\beta^*\hat b_1^\dagger.

计算由 b^1∣in⟩=0\hat b_1|\mathrm{in}\rangle=0 定义的状态 ∣in⟩|\mathrm{in}\rangle 中算符 N^2≡b^2†b^2\hat N_2\equiv\hat b_2^\dagger\hat b_2 的期望值。

Kai​

(1)・(2)​

位相因子は交換関係で相殺され、[q^,p^]=iℏ[\hat q,\hat p]=i\hbar から

[a^,a^†]=1,H^=ℏω(N^+12).\boxed{[\hat a,\hat a^\dagger]=1,\qquad \hat H=\hbar\omega(\hat N+\tfrac12).}

[N^,a^]=−a^[\hat N,\hat a]=-\hat a より、陽な時間微分 iωa^i\omega\hat a と交換子の項が相殺し、a^˙=0\boxed{\dot{\hat a}=0}。

(3)・(4)​

(3) W=uu˙∗−u∗u˙W=u\dot u^*-u^*\dot u とおけば

W˙=uu¨∗−u∗u¨=−ω2uu∗+ω2u∗u=0.\dot W=u\ddot u^*-u^*\ddot u=-\omega^2uu^*+\omega^2u^*u=0.

従って初期の W=iℏ/mW=i\hbar/m が保存される。

(4) 展開を正準交換関係へ代入すると [q^,p^]=mW[b^,b^†][\hat q,\hat p]=mW[\hat b,\hat b^\dagger]。従って [b^,b^†]=1\boxed{[\hat b,\hat b^\dagger]=1}。また q^˙=p^/m\dot{\hat q}=\hat p/m と p^˙=−mω2q^\dot{\hat p}=-m\omega^2\hat q から

ub^˙+u∗b^˙†=0,u˙b^˙+u˙∗b^˙†=0.u\dot{\hat b}+u^*\dot{\hat b}^\dagger=0,\qquad \dot u\dot{\hat b}+\dot u^*\dot{\hat b}^\dagger=0.

係数行列の行列式は W≠0W\neq0 なので b^˙=0\boxed{\dot{\hat b}=0}。

(5)・(6)​

(5) u=Ce−iωtu=Ce^{-i\omega t} に対して W=2iω∣C∣2W=2i\omega|C|^2。よって

∣N∣=ℏ2mω−,∣M∣=ℏ2mω+.\boxed{|\mathcal N|=\sqrt{\frac\hbar{2m\omega_-}},\qquad |\mathcal M|=\sqrt{\frac\hbar{2m\omega_+}}.}

(6) u1=αu2+βu2∗u_1=\alpha u_2+\beta u_2^* の Wronskian は (∣α∣2−∣β∣2)iℏ/m(|\alpha|^2-|\beta|^2)i\hbar/m となる。両方の規格化を比較して

∣α∣2−∣β∣2=1,∣α∣=1+∣β∣2.\boxed{|\alpha|^2-|\beta|^2=1,\qquad |\alpha|=\sqrt{1+|\beta|^2}.}

(7)​

b^1∣in⟩=0\hat b_1|\mathrm{in}\rangle=0 と [b^1,b^1†]=1[\hat b_1,\hat b_1^\dagger]=1 から

⟨in∣N^2∣in⟩=∣β∣2⟨in∣b^1b^1†∣in⟩=∣β∣2.\boxed{\langle\mathrm{in}|\hat N_2|\mathrm{in}\rangle =|\beta|^2\langle\mathrm{in}|\hat b_1\hat b_1^\dagger|\mathrm{in}\rangle =|\beta|^2.}

Reference​

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