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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2019年度 問題I-3-ABCD

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

I-3A​

鉛直下向きに一定の重力加速度 gg が働く。初期質量 M0M_0 のロケットを時刻 t=0t=0 に静止状態から鉛直上向きに打ち上げる。燃料はロケットに対して一定の速さ uu で後方へ噴出し、時刻 tt の質量 M(t)M(t) は与えられる。上向きを正として、運動方程式と速度 v(t)v(t) を求めよ。

I-3B​

ポアソン分布 Pλ(k)=e−λλk/k!P_\lambda(k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k!、k=0,1,…k=0,1,\ldots を考える。

  1. 平均と分散を求めよ。
  2. 放出粒子の検出数がポアソン分布に従う。標準偏差を平均の 1%1\% 以下にするために必要な粒子数を求めよ。

I-3C​

一次元に束縛された同種のスピン 1/21/2 粒子2個のハミルトニアンが

H=−ℏ22m(∂x12+∂x22)+λ∣x1−x2∣,λ>0H=-\frac{\hbar^2}{2m}(\partial_{x_1}^2+\partial_{x_2}^2)+\lambda|x_1-x_2|,\qquad \lambda>0

である。重心系の基底状態と第一励起状態の全スピンの大きさを答え、理由を述べよ。

I-3D​

r∈R3\boldsymbol r\in\mathbb R^3 が密度 f(r)=Ae−β∣r∣2f(\boldsymbol r)=A e^{-\beta|\boldsymbol r|^2} に従う。規格化条件 ∫d3r f=1\int d^3r\,f=1 から AA を決め、⟨∣r∣2⟩\langle|\boldsymbol r|^2\rangle を求めよ。必要なら ∫0∞s2e−as2ds=π/(4a3/2)\int_0^\infty s^2e^{-as^2}ds=\sqrt\pi/(4a^{3/2}) を用いてよい。

题目描述​

A：火箭由静止竖直发射，初始质量 M0M_0，已知质量函数 M(t)M(t)，向后喷气相对速率 uu，重力加速度 gg。取向上为正，求运动方程与速度。

B：求参数 λ\lambda 的泊松分布的均值和方差，以及粒子计数的相对标准差不超过 1%1\% 所需计数。

C：两个相同的自旋 1/21/2 粒子在一维中由 λ∣x1−x2∣\lambda|x_1-x_2| 束缚，动能如上式。求质心系基态与第一激发态的总自旋并说明交换对称性。

D：把三维高斯密度 Ae−βr2Ae^{-\beta r^2} 归一化，并求 ⟨r2⟩\langle r^2\rangle。

Kai​

I-3A​

時間 dtdt に放出された質量 −dM-dM の速度は v−uv-u である。運動量収支を一次まで取ると

M dv=−Mg dt−u dM.M\,dv=-Mg\,dt-u\,dM.

M(0)=M0,v(0)=0M(0)=M_0,v(0)=0 から

Mv˙=−Mg−uM˙,v(t)=ulog⁡M0M(t)−gt.\boxed{M\dot v=-Mg-u\dot M,\qquad v(t)=u\log\frac{M_0}{M(t)}-gt.}

I-3B​

(1) 級数の添字をずらせば ⟨k⟩=λ\langle k\rangle=\lambda、⟨k(k−1)⟩=λ2\langle k(k-1)\rangle=\lambda^2。したがって

⟨k⟩=λ,Var⁡(k)=λ.\boxed{\langle k\rangle=\lambda,\qquad \operatorname{Var}(k)=\lambda.}

(2) λ/λ≤0.01\sqrt\lambda/\lambda\leq0.01 より λ≥104\boxed{\lambda\geq10^4}。平均して少なくとも 10410^4 個の検出が必要である。

I-3C​

X=(x1+x2)/2X=(x_1+x_2)/2、x=x1−x2x=x_1-x_2 とすると

H=−ℏ24m∂X2−ℏ2m∂x2+λ∣x∣.H=-\frac{\hbar^2}{4m}\partial_X^2-\frac{\hbar^2}{m}\partial_x^2+\lambda|x|.

重心運動を除く一次元の偶対称ポテンシャルでは、基底状態は節を持たない偶関数、第一励起状態は一つの節を持つ奇関数である。同種フェルミ粒子の全状態は交換反対称なので、基底状態のスピンは反対称な一重項、第一励起状態は対称な三重項となる。

Sground=0,Sfirst=1.\boxed{S_{\mathrm{ground}}=0,\qquad S_{\mathrm{first}}=1.}

角運動量の大きさとしては、それぞれ 0,2ℏ0,\sqrt2\hbar である。

I-3D​

規格化可能であるために β>0\beta>0 を要する。三つのガウス積分から

1=A(πβ)3/2,⟨r2⟩=−∂βlog⁡(πβ)3/2.1=A\left(\frac\pi\beta\right)^{3/2},\qquad \langle r^2\rangle=-\partial_\beta\log\left(\frac\pi\beta\right)^{3/2}.

よって

A=(β/π)3/2,⟨r2⟩=3/(2β).\boxed{A=(\beta/\pi)^{3/2},\qquad\langle r^2\rangle=3/(2\beta).}

Reference​

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