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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2019年度 問題I-2-AB

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

I-2A​

質量 MsM_s の太陽の周りを Mp≪MsM_p\ll M_s の惑星が公転する。太陽を固定し、極座標 (r,θ)(r,\theta) を用いる。加速度は

ar=r¨−rθ˙2,aθ=1rddt(r2θ˙).a_r=\ddot r-r\dot\theta^2,\qquad a_\theta=\frac1r\frac d{dt}(r^2\dot\theta).

ケプラーの第2法則により面積速度 r2θ˙/2r^2\dot\theta/2 は一定である。第1法則による楕円の長半径を aa、離心率を ϵ\epsilon、周期を TT とし、面積は πa21−ϵ2\pi a^2\sqrt{1-\epsilon^2}、軌道は r=a(1−ϵ2)/(1+ϵcos⁡θ)r=a(1-\epsilon^2)/(1+\epsilon\cos\theta) とする。

  1. 面積速度と θ˙\dot\theta を求めよ。
  2. r˙=A d(1/r)/dθ\dot r=A\,d(1/r)/d\theta、r¨=B d2(1/r)/dθ2\ddot r=B\,d^2(1/r)/d\theta^2 の A,BA,B を、TT を含む式で表せ。
  3. ar=ksp/r2a_r=k_{sp}/r^2 の係数 kspk_{sp} を a,Ta,T で表せ。
  4. 第3法則から kspk_{sp} は惑星に依存しない。太陽と惑星を入れ替えた kpsk_{ps} は太陽に依存しないと推論する。さらにどの原理を使えば ksp=−GMs,kps=−GMpk_{sp}=-GM_s,k_{ps}=-GM_p、すなわち万有引力の法則が得られるか説明せよ。

I-2B​

質量 mm、角振動数 ω\omega の一次元調和振動子について、[a^,a^†]=1[\hat a,\hat a^\dagger]=1、∣n⟩=(a^†)n∣0⟩/n!|n\rangle=(\hat a^\dagger)^n|0\rangle/\sqrt{n!} とする。

  1. x^=ℏ/(2mω)(a^+a^†)\hat x=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}(\hat a+\hat a^\dagger) を用いて、⟨n′∣x^∣n⟩\langle n'|\hat x|n\rangle と ⟨n′∣x^2∣n⟩\langle n'|\hat x^2|n\rangle を求めよ。
  2. V1=Ax,V2=Bx2,V3=Cx3,V4=Dx4V_1=Ax,V_2=Bx^2,V_3=Cx^3,V_4=Dx^4 の各摂動のうち、一次のエネルギー変化が生じるものを対称性から選び、その値を求めよ。
  3. V1+V2V_1+V_2 が加わった系のエネルギー固有値を厳密に求めよ。

题目描述​

A：把太阳固定在原点。已知极坐标加速度、开普勒面积定律，以及长半轴 aa、离心率 ϵ\epsilon 的椭圆面积和轨道方程。求 (1) 面积速度及角速度；(2) r˙=A(1/r)′\dot r=A(1/r)'、r¨=B(1/r)′′\ddot r=B(1/r)'' 的系数；(3) 逆平方加速度的系数；(4) 从开普勒第三定律和相互作用推出万有引力时需要补充的原理。

B：对质量 mm、角频率 ω\omega 的一维谐振子，给定产生湮灭算符及数态。(1) 求位置及位置平方的数态矩阵元；(2) 判断 Ax,Bx2,Cx3,Dx4Ax,Bx^2,Cx^3,Dx^4 中哪些给出非零一阶能量修正，并求修正；(3) 求加入 Ax+Bx2Ax+Bx^2 后的精确能级。

Kai​

I-2A​

(1) 面積速度は πa21−ϵ2/T\pi a^2\sqrt{1-\epsilon^2}/T。したがって、h=2πa21−ϵ2/Th=2\pi a^2\sqrt{1-\epsilon^2}/T とおけば

θ˙=h/r2.\boxed{\dot\theta=h/r^2.}

(2) u=1/ru=1/r とすると r˙=−hu′\dot r=-h u'、r¨=−h2u2u′′\ddot r=-h^2u^2u'' だから

A=−2πa21−ϵ2T,B=−4π2a4(1−ϵ2)T2r2.\boxed{A=-\frac{2\pi a^2\sqrt{1-\epsilon^2}}T,\qquad B=-\frac{4\pi^2a^4(1-\epsilon^2)}{T^2r^2}.}

(3) u′′+u=1/[a(1−ϵ2)]u''+u=1/[a(1-\epsilon^2)] より

ar=−h2r2(u′′+u)=−4π2a3T2r2,ksp=−4π2a3/T2.a_r=-\frac{h^2}{r^2}(u''+u)=-\frac{4\pi^2a^3}{T^2r^2},\qquad \boxed{k_{sp}=-4\pi^2a^3/T^2.}

(4) 作用・反作用の法則から両者が受ける力の大きさは等しく、kspMp=kpsMsk_{sp}M_p=k_{ps}M_s。よって ksp/Ms=kps/Mpk_{sp}/M_s=k_{ps}/M_p はいずれの物体にも依存しない負の普遍定数 −G-G である。

I-2B​

(1) x0=ℏ/(2mω)x_0=\sqrt{\hbar/(2m\omega)} とおく。a^∣n⟩=n∣n−1⟩\hat a|n\rangle=\sqrt n|n-1\rangle より

⟨n′∣x^∣n⟩=x0(n δn′,n−1+n+1 δn′,n+1),\boxed{\langle n'|\hat x|n\rangle=x_0\left(\sqrt n\,\delta_{n',n-1}+\sqrt{n+1}\,\delta_{n',n+1}\right),}
⟨n′∣x^2∣n⟩=x02[n(n−1)δn′,n−2+(2n+1)δn′,n+(n+1)(n+2)δn′,n+2].\boxed{\langle n'|\hat x^2|n\rangle=x_0^2\left[\sqrt{n(n-1)}\delta_{n',n-2}+(2n+1)\delta_{n',n}+\sqrt{(n+1)(n+2)}\delta_{n',n+2}\right].}

(2) 無摂動固有状態は確定したパリティを持つので、奇関数 V1,V3V_1,V_3 の期待値はゼロである。一方、⟨x4⟩=∥x2∣n⟩∥2=3x04(2n2+2n+1)\langle x^4\rangle=\|x^2|n\rangle\|^2=3x_0^4(2n^2+2n+1) より

ΔEn(1)[V2]=Bℏmω(n+12),ΔEn(1)[V4]=3Dℏ24m2ω2(2n2+2n+1).\boxed{\Delta E_n^{(1)}[V_2]=\frac{B\hbar}{m\omega}(n+\tfrac12),\qquad \Delta E_n^{(1)}[V_4]=\frac{3D\hbar^2}{4m^2\omega^2}(2n^2+2n+1).}

(3) mω2+2B>0m\omega^2+2B>0 のとき、Ω=ω2+2B/m\Omega=\sqrt{\omega^2+2B/m} とおけば

mω22x2+Ax+Bx2=mΩ22(x+AmΩ2)2−A22mΩ2.\frac{m\omega^2}2x^2+Ax+Bx^2= \frac{m\Omega^2}2\left(x+\frac{A}{m\Omega^2}\right)^2-\frac{A^2}{2m\Omega^2}.

したがって

En=ℏΩ(n+12)−A22(mω2+2B),n=0,1,….\boxed{E_n=\hbar\Omega(n+\tfrac12)-\frac{A^2}{2(m\omega^2+2B)},\quad n=0,1,\ldots.}

mω2+2B≤0m\omega^2+2B\leq0 では閉じ込める調和ポテンシャルを失い、この離散束縛スペクトルは存在しない。

Reference​

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