京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2019年度 問題I-1

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• 电磁波
• 传导电流与位移电流

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

平面 $z=0$ を境に、$z<0$ は真空、$z>0$ は巨視的に中性な一様プラズマとする。電子の数密度を $n$、電荷を $e$、質量を $m$ とし、熱運動、イオンの運動、磁場による電子への力を無視する。電子の変位は微小で、$m\,d\boldsymbol v/dt=e\boldsymbol E$ に従う。SI 単位系を用い、真空の誘電率・透磁率を $\varepsilon_0,\mu_0$ とする。マクスウェル方程式は

$$\nabla\cdot\boldsymbol E=0,\quad \nabla\times\boldsymbol E=-\partial_t\boldsymbol B,\quad \nabla\times\boldsymbol B=\mu_0\boldsymbol J+\mu_0\varepsilon_0\partial_t\boldsymbol E,\quad \nabla\cdot\boldsymbol B=0.$$

1. $\partial_t\boldsymbol J=A\boldsymbol E$ の係数 $A$ を求めよ。
2. $\nabla^2\boldsymbol E=B\boldsymbol E+\mu_0\varepsilon_0\partial_t^2\boldsymbol E$ の係数 $B$ を求めよ。
3. プラズマ中の分散関係 $\omega^2=c^2k'^2+\omega_p^2$ に現れる $\omega_p$ を求めよ。ただし $c=(\varepsilon_0\mu_0)^{-1/2}$。
4. 真空側から $\boldsymbol E_i=\operatorname{Re}[E_0e^{i(kz-\omega t)}]\boldsymbol e_x$ が入射する。$\omega>\omega_p$ のとき、境界条件から反射電場と透過電場を求めよ。
5. (4) の透過波について、$z=+0$ でのポインティングベクトルの時間平均の向きと大きさを求めよ。
6. $\omega<\omega_p$ のとき、$z=+0$ でのポインティングベクトルの時間平均を求めよ。

题目描述

平面 $z=0$ 的左侧是真空，右侧是电子数密度为 $n$ 的均匀中性等离子体。电子电荷、质量为 $e,m$；忽略热运动、离子运动及磁场对电子的力。电子满足 $m\dot{\boldsymbol v}=e\boldsymbol E$，电磁场满足上列麦克斯韦方程，采用 SI 制。

1. 求 $\partial_t\boldsymbol J=A\boldsymbol E$ 的系数。
2. 求电场波动方程中的系数 $B$。
3. 求色散关系 $\omega^2=c^2k'^2+\omega_p^2$ 中的等离子体频率。
4. 给定沿 $+z$ 入射的 $x$ 偏振平面波 $\boldsymbol E_i=\operatorname{Re}[E_0e^{i(kz-\omega t)}]\boldsymbol e_x$，求 $\omega>\omega_p$ 时的反射与透射电场。
5. 求该透射波在界面右侧的平均能流方向和大小。
6. 求 $\omega<\omega_p$ 时界面右侧的平均能流。

Kai

(1)–(3)

$\boldsymbol J=ne\boldsymbol v$ より $\partial_t\boldsymbol J=(ne^2/m)\boldsymbol E$。ファラデーの式の回転を取り、$\nabla\cdot\boldsymbol E=0$ を使うと

$$\nabla^2\boldsymbol E=\mu_0\partial_t\boldsymbol J+\mu_0\varepsilon_0\partial_t^2\boldsymbol E.$$

したがって

$$\boxed{A=\frac{ne^2}{m},\quad B=\frac{\mu_0ne^2}{m},\quad \omega_p=\sqrt{\frac{ne^2}{m\varepsilon_0}}.}$$

(4)

$k=\omega/c$、$k'=\sqrt{\omega^2-\omega_p^2}/c>0$。複素電場振幅を $E_r,E_t$ とすると、接線電場・磁場の連続性から

$$E_0+E_r=E_t,\qquad k(E_0-E_r)=k'E_t.$$

よって

$$\boxed{\boldsymbol E_r=\operatorname{Re}\left[\frac{k-k'}{k+k'}E_0e^{i(-kz-\omega t)}\right]\boldsymbol e_x,\quad \boldsymbol E_t=\operatorname{Re}\left[\frac{2k}{k+k'}E_0e^{i(k'z-\omega t)}\right]\boldsymbol e_x.}$$

(5)

透過波の磁場振幅は $\widetilde{\boldsymbol B}_t=(k'/\omega)E_t\boldsymbol e_y$。したがって

$$\boxed{\langle\boldsymbol S_t\rangle= \frac{k'}{2\mu_0\omega}\left|\frac{2kE_0}{k+k'}\right|^2\boldsymbol e_z.}$$

向きは $+z$ である。

(6)

$\kappa=\sqrt{\omega_p^2-\omega^2}/c$ とすると、有界な透過波は $k'=i\kappa$ に対応する。電場は $e^{-\kappa z}$ に比例し、磁場振幅は $(i\kappa/\omega)E_t\boldsymbol e_y$。電場と磁場の位相差が $\pi/2$ なので

$$\boxed{\langle\boldsymbol S_t\rangle=\frac1{2\mu_0}\operatorname{Re}(\widetilde{\boldsymbol E}_t\times\widetilde{\boldsymbol B}_t^*)=\boldsymbol0.}$$

Reference

• 京都大学公式原題（2019年度、PDF 2–3ページ）