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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2019年度 問題II-2

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

質量 mm、正電荷 ee の粒子が半径 RR の円周 CC 上に束縛されている。円の中心を貫く細いソレノイドの磁束を Φ\Phi とし、円上の磁場は無視する。磁束と円周座標 σ=Rθ\sigma=R\theta の向きは図1のとおりとする。波動関数は ψ(σ+2πR)=ψ(σ)\psi(\sigma+2\pi R)=\psi(\sigma) を満たす。

原題 図1：磁束が貫く円周上の荷電粒子

  1. Φ=0\Phi=0 のシュレディンガー方程式、全エネルギー固有値と固有波動関数を求めよ。
  2. 円上で一定となる接線方向のベクトルポテンシャル AσA_\sigma を Φ,R\Phi,R で表せ。
  3. 運動量の置換 pσ↦pσ−eAσp_\sigma\mapsto p_\sigma-eA_\sigma により、一定の AσA_\sigma に対するエネルギー固有値を求めよ。
  4. スペクトルが Φ=0\Phi=0 と一致する最小の正の磁束 Φ0\Phi_0 を求めよ。
  5. 0≤Φ≤Φ00\leq\Phi\leq\Phi_0 の範囲で低い方から3番目までのエネルギー準位を図示し、縮退点を示せ。3番目と4番目が縮退する点も示すこと。

次に V(σ)=λcos⁡(2σ/R)V(\sigma)=\lambda\cos(2\sigma/R)、λ>0\lambda>0 を加える。マシュー関数 meν(ξ,q)\mathrm{me}_\nu(\xi,q) は

φ′′+(a−2qcos⁡2ξ)φ=0,meν(ξ+π,q)=eiνπmeν(ξ,q),meν(ξ,0)=eiνξ\varphi''+(a-2q\cos2\xi)\varphi=0,\qquad \mathrm{me}_\nu(\xi+\pi,q)=e^{i\nu\pi}\mathrm{me}_\nu(\xi,q),\qquad \mathrm{me}_\nu(\xi,0)=e^{i\nu\xi}

を満たす。特性指数 ν=ν(a,q)\nu=\nu(a,q) は一般に複素数で、非整数の ν\nu に対し meν,me−ν\mathrm{me}_\nu,\mathrm{me}_{-\nu} は独立な解である。

  1. ξ=σ/R\xi=\sigma/R、ψ=eikξφ\psi=e^{ik\xi}\varphi として、上のマシュー方程式へ帰着させる k,a,qk,a,q を求めよ。
  2. ψ=eikξmeν(ξ,q)\psi=e^{ik\xi}\mathrm{me}_\nu(\xi,q) が円周の境界条件を満たすための ν\nu の値を求めよ。
  3. 図2は小さい正の qq を固定したときの aa と ν\nu の関係を示す。a=1a=1 付近の二つの ν=1\nu=1 の端点があり、その間では ν\nu が実数でなくなる。この性質を用い、十分小さい λ>0\lambda>0 の下で (5) の準位図がどう変わるか図示し、縮退点を示せ。

原題 図2：マシュー方程式の特性指数

题目描述​

正電荷 ee、质量 mm 的粒子限制在半径 RR 的圆周上，圆心细螺线管携带磁通 Φ\Phi，圆周上没有磁场。磁通与弧长坐标 σ=Rθ\sigma=R\theta 的方向见上方图1，波函数周期为 2πR2\pi R。

  1. 求零磁通时的方程、能级与波函数。
  2. 求圆上恒定的切向矢势。
  3. 用最小耦合求有磁通时的能级。
  4. 求使整个能谱恢复零磁通形式的最小正磁通 Φ0\Phi_0。
  5. 绘制一个磁通周期内最低三个能级，标出全部相关简并，包括第三、第四能级的简并。
  6. 加入 λcos⁡(2σ/R)\lambda\cos(2\sigma/R) 后，以 ψ=eikξφ,ξ=σ/R\psi=e^{ik\xi}\varphi,\xi=\sigma/R 化为给定的马修方程，求 k,a,qk,a,q。
  7. 结合马修函数准周期性质，求允许的特征指数 ν\nu。
  8. 上方图2给出小正 qq 时 aa 与 ν\nu 的关系，a≃1a\simeq1 附近出现无实数 ν\nu 的间隙，据此绘制微弱势能下的能级与简并变化。

Kai​

(1)–(4)​

Φ=0\Phi=0 の方程式は −ℏ2ψ′′/(2m)=Eψ-\hbar^2\psi''/(2m)=E\psi。周期条件と規格化により

ψn(σ)=einσ/R2πR,En(0)=ℏ2n22mR2,n∈Z.\boxed{\psi_n(\sigma)=\frac{e^{in\sigma/R}}{\sqrt{2\pi R}},\quad E_n(0)=\frac{\hbar^2n^2}{2mR^2},\quad n\in\mathbb Z.}

ストークスの定理から 2πRAσ=Φ2\pi R A_\sigma=\Phi。ER=ℏ2/(2mR2)E_R=\hbar^2/(2mR^2) とおくと

Aσ=Φ2πR,En=12m(ℏnR−eAσ)2=ER(n−f)2,Φ0=2πℏe,f=ΦΦ0.\boxed{A_\sigma=\frac{\Phi}{2\pi R},\quad E_n=\frac1{2m}\left(\frac{\hbar n}R-eA_\sigma\right)^2=E_R(n-f)^2,\quad \Phi_0=\frac{2\pi\hbar}e,\quad f=\frac\Phi{\Phi_0}.}

ff を整数だけ増やすと nn の付け替えで全スペクトルが一致する。

(5)​

0≤f≤1/20\leq f\leq1/2 の最低3準位は順に n=0,1,−1n=0,1,-1、1/2≤f≤11/2\leq f\leq1 では n=1,0,2n=1,0,2 である。縮退は f=0,1f=0,1 で第2・第3準位、f=1/2f=1/2 で第1・第2準位、および第3・第4準位に生じる。

磁束と円環上の低エネルギー準位

(6)・(7)​

シュレディンガー方程式は

[ER(−i∂ξ−f)2+λcos⁡2ξ]ψ=Eψ.\left[E_R(-i\partial_\xi-f)^2+\lambda\cos2\xi\right]\psi=E\psi.

ψ=eifξφ\psi=e^{if\xi}\varphi で磁束を微分演算子から除くと

k=f,a=EER,q=λ2ER=mR2λℏ2.\boxed{k=f,\qquad a=\frac E{E_R},\qquad q=\frac\lambda{2E_R}=\frac{mR^2\lambda}{\hbar^2}.}

一周で ψ\psi が得る位相は e2πi(f+ν)e^{2\pi i(f+\nu)} なので

ν=n−f,n∈Z.\boxed{\nu=n-f,\qquad n\in\mathbb Z.}

(8)​

ポテンシャルの行列要素は

⟨n′∣V∣n⟩=λ2(δn′,n+2+δn′,n−2).\langle n'|V|n\rangle=\frac\lambda2(\delta_{n',n+2}+\delta_{n',n-2}).

f=0f=0 の n=±1n=\pm1 は結合し、一次で ER±λ/2E_R\pm\lambda/2 に分裂する。f=1f=1 の n=0,2n=0,2 も同様である。したがって端点での第2・第3準位の縮退は解ける。

一方、偶数 nn と奇数 nn の部分空間は結合しない。f=1/2f=1/2 での変換 n↦1−nn\mapsto1-n はこの二空間を入れ替えて同じスペクトルを与えるため、第1・第2、および第3・第4準位の縮退は残る。図の右側は小さい λ/ER\lambda/E_R の代表例であり、端点の分裂と半磁束での交差を示す。

Reference​

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