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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2019年度 問題II-1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

質量 mm の質点2個を結合した二原子分子が体積 VV 中に NN 個ある。結合長の尺度 aa は (V/N)1/3(V/N)^{1/3} より十分小さく、分子間相互作用を無視する。ボルツマン定数は kBk_B。

  1. 質点間距離を aa に固定した古典模型について、圧力と定積熱容量を求め、考え方を簡潔に述べよ。
  2. 結合を自然長 aa、ばね定数 kk のばねに置き換える。分子内ポテンシャルは k(∣r1−r2∣−a)2/2k(|\boldsymbol r_1-\boldsymbol r_2|-a)^2/2 である。ka2≫kBTka^2\gg k_BT の古典領域で圧力と定積熱容量を求めよ。
  3. (2) を量子論で扱い、質点は同種のボース粒子とする。次元解析により、mm と数密度 nn で決まる温度 T0T_0、m,am,a で決まる T1T_1、m,km,k で決まる T2T_2 を求めよ。ℏ,kB\hbar,k_B を使ってよい。
  4. T≪T0T\ll T_0 で現れる顕著な現象の名を書け。
  5. T0≪T1≪T2T_0\ll T_1\ll T_2 のとき、(i) T0≪T≪T1T_0\ll T\ll T_1、(ii) T1≪T≪T2T_1\ll T\ll T_2、(iii) T≫T2T\gg T_2 の各領域の定積熱容量を求めよ。
  6. 常温 300 K300\,\mathrm K の二原子気体の熱容量が約 5NkB/25Nk_B/2 であることから、ω=k/m\omega=\sqrt{k/m} が十分上回るべき周波数尺度 ωc\omega_c を見積もれ。ℏ=10−34 J s\hbar=10^{-34}\,\mathrm{J\,s}、kB=10−23 J/Kk_B=10^{-23}\,\mathrm{J/K} とせよ。

题目描述​

体积 VV 内有 NN 个由两个质量 mm 的质点组成的二原子分子，尺度 aa 远小于分子间距，忽略分子间相互作用。

  1. 经典刚性键长 aa 模型的压强与定容热容量为何？
  2. 改用势能 k(∣r1−r2∣−a)2/2k(|\boldsymbol r_1-\boldsymbol r_2|-a)^2/2，在 ka2≫kBTka^2\gg k_BT 的经典范围求同样两量。
  3. 两质点是相同玻色子，用量纲分析构造分别由 (m,n)(m,n)、(m,a)(m,a)、(m,k)(m,k) 决定的温度 T0,T1,T2T_0,T_1,T_2，可用 ℏ,kB\hbar,k_B。
  4. T≪T0T\ll T_0 下有什么典型现象？
  5. 对 T0≪T1≪T2T_0\ll T_1\ll T_2，求三个中间温区的热容量。
  6. 利用室温热容量约为 5NkB/25Nk_B/2，估计 ω=k/m\omega=\sqrt{k/m} 应远大于的尺度 ωc\omega_c；取上述近似常数。

Kai​

(1)​

並進の3自由度と回転の2自由度がそれぞれ kBT/2k_BT/2 を持つ。配置積分の体積依存性は VNV^N であるから

P=NkBTV,CV=52NkB.\boxed{P=\frac{Nk_BT}{V},\qquad C_V=\frac52Nk_B.}

(2)​

伸縮振動の運動エネルギーとポテンシャルエネルギーが各 NkBT/2Nk_BT/2 を加える。ka2≫kBTka^2\gg k_BT により結合長のゆらぎが小さく、回転と伸縮を分離できる。したがって

P=NkBTV,CV≃72NkB.\boxed{P=\frac{Nk_BT}{V},\qquad C_V\simeq\frac72Nk_B.}

(3)・(4)​

次元解析では無次元係数は決まらない。各温度の尺度は

T0∼ℏ2n2/3mkB,T1∼ℏ2ma2kB,T2∼ℏkBkm.\boxed{T_0\sim\frac{\hbar^2n^{2/3}}{mk_B},\qquad T_1\sim\frac{\hbar^2}{ma^2k_B},\qquad T_2\sim\frac{\hbar}{k_B}\sqrt{\frac{k}{m}}.}

順に並進の量子縮退、回転準位、伸縮振動のエネルギー尺度に対応する。T≪T0T\ll T_0 では ボース・アインシュタイン凝縮 が現れる。

(5)​

T≫T0T\gg T_0 では並進は古典的で 3NkB/23Nk_B/2 を与える。回転・振動は、その準位間隔より kBTk_BT が小さければ凍結する。したがって

CV≃{3NkB/2(T0≪T≪T1),5NkB/2(T1≪T≪T2),7NkB/2(T≫T2).\boxed{C_V\simeq \begin{cases} 3Nk_B/2 &(T_0\ll T\ll T_1),\\ 5Nk_B/2 &(T_1\ll T\ll T_2),\\ 7Nk_B/2 &(T\gg T_2). \end{cases}}

最後の領域では、分子の小振幅模型が成り立つ kBT≪ka2k_BT\ll ka^2 も仮定する。換算質量は m/2m/2 なので伸縮の実際の角振動数は 2k/m\sqrt{2k/m}、慣性モーメントは ma2/2ma^2/2 である。この数係数は上の温度尺度や極限の熱容量を変えない。

(6)​

室温で伸縮振動が凍結するための尺度は ℏω≫kBT\hbar\omega\gg k_BT。よって

ωc∼kB(300 K)ℏ=3×1013 s−1.\boxed{\omega_c\sim\frac{k_B(300\,\mathrm K)}\hbar=3\times10^{13}\,\mathrm{s^{-1}}.}

Reference​

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