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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2019年度 問題III-2-AB

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

III-2A​

SI 単位系を用い、真空の誘電率を ε0\varepsilon_0 とする。

  1. 半径 aa の球の内部に総電荷 ee が一様に分布する。中心からの距離 rr における電場を求めよ。
  2. 球の静電エネルギー U0U_0 を求めよ。
  3. 荷電 π\pi 中間子と中性 π\pi 中間子のエネルギー差を二つの模型で比較する。模型 I：半径 aa の球で、荷電粒子の内部は総電荷 ee で一様に帯電、中性粒子は無帯電。模型 II：距離 bb の点電荷対で、荷電粒子は (e/3,2e/3)(e/3,2e/3)、中性粒子は (e/3,−e/3)(e/3,-e/3) と (2e/3,−2e/3)(2e/3,-2e/3) の二状態の重ね合わせであり、静電エネルギーは両状態の算術平均とする。b→∞b\to\infty では両者の静電エネルギー差をゼロとする。模型 I と II のエネルギー差が等しいとき、a/ba/b を求めよ。

III-2B​

NN 個の要素からなる鎖状分子を考える。各要素は独立に σi=±1\sigma_i=\pm1 を取り、長さ l+σial+\sigma_i a、エネルギー ϵ+σiΔ\epsilon+\sigma_i\Delta を持つ。一定の外力 ff による全エネルギーと全長は

E=∑i=1N(ϵ+σiΔ)−fL,L=∑i=1N(l+σia).E=\sum_{i=1}^N(\epsilon+\sigma_i\Delta)-fL,\qquad L=\sum_{i=1}^N(l+\sigma_i a).

温度 TT の正準分布を用い、期待値を上線で表す。

  1. σi=1\sigma_i=1 の確率を求めよ。
  2. σi‾\overline{\sigma_i} と (σi−σi‾)2‾\overline{(\sigma_i-\overline{\sigma_i})^2} を求めよ。
  3. 温度一定で f↦f+δff\mapsto f+\delta f とすると δL‾≃kδf\delta\overline L\simeq k\delta f となる。kk を求めよ。
  4. より一般に E=E0({σi})−fLE=E_0(\{\sigma_i\})-fL、E0E_0 は ff に依存しない場合、kk を全長のゆらぎで表せ。

题目描述​

A：(1) 求半径 aa、总电荷 ee 的均匀带电实心球的内外电场；(2) 求其静电能；(3) 比较两种模型中荷电与中性 π\pi 介子的静电能差。模型 I 用带电球与无电球，模型 II 用间距 bb 的电荷对：荷电为 (e/3,2e/3)(e/3,2e/3)，中性为 (e/3,−e/3)(e/3,-e/3) 和 (2e/3,−2e/3)(2e/3,-2e/3) 的能量平均。两能差相等时求 a/ba/b。

B：由 NN 个独立二态单元构成的分子链，每个单元长度 l+σial+\sigma_i a、能量 ϵ+σiΔ\epsilon+\sigma_i\Delta，受恒力 ff 后总能量减去 fLfL。求正则分布下 (1) 正态概率；(2) 平均与方差；(3) 定温长度对力的线性响应；(4) 一般能量 E0−fLE_0-fL 下响应系数和总长涨落的关系。

Kai​

III-2A​

(1) ガウスの法則から

E(r)=e4πε0{(r/a3)er(r≤a),r−2er(r≥a).\boxed{\boldsymbol E(r)=\frac e{4\pi\varepsilon_0} \begin{cases}(r/a^3)\boldsymbol e_r &(r\leq a),\\r^{-2}\boldsymbol e_r &(r\geq a). \end{cases}}

(2) 内外の場のエネルギーを積分して

U0=ε02∫E2d3r=e28πε0(15a+1a)=3e220πε0a.U_0=\frac{\varepsilon_0}2\int E^2d^3r =\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac1{5a}+\frac1a\right) =\boxed{\frac{3e^2}{20\pi\varepsilon_0a}}.

(3) 模型 II の差は

ΔUII=e24πε0b[29−12(−19−49)]=e28πε0b.\Delta U_{\mathrm{II}}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0b} \left[\frac29-\frac12\left(-\frac19-\frac49\right)\right] =\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0b}.

ΔUI=U0\Delta U_{\mathrm I}=U_0 と等置して a/b=6/5\boxed{a/b=6/5}。

III-2B​

βT=1/(kBT)\beta_T=1/(k_BT)、h=fa−Δh=fa-\Delta とおく。一要素の分配関数は z=2e−βT(ϵ−fl)cosh⁡(βTh)z=2e^{-\beta_T(\epsilon-fl)}\cosh(\beta_T h)。

(1) P(σi=1)=eβTh/[2cosh⁡(βTh)]=1/(1+e−2βTh)\boxed{P(\sigma_i=1)=e^{\beta_T h}/[2\cosh(\beta_T h)]=1/(1+e^{-2\beta_T h})}。

(2) σi2=1\sigma_i^2=1 より

σi‾=tanh⁡(βTh),Var⁡(σi)=sech⁡2(βTh).\boxed{\overline{\sigma_i}=\tanh(\beta_T h),\qquad \operatorname{Var}(\sigma_i)=\operatorname{sech}^2(\beta_T h).}

(3) L‾=Nl+Natanh⁡(βTh)\overline L=Nl+Na\tanh(\beta_T h) を微分して

k=(∂L‾∂f)T=Na2kBTsech⁡2fa−ΔkBT.\boxed{k=\left(\frac{\partial\overline L}{\partial f}\right)_T =\frac{Na^2}{k_BT}\operatorname{sech}^2\frac{fa-\Delta}{k_BT}.}

(4) 一般の分配関数 Z=∑e−βT(E0−fL)Z=\sum e^{-\beta_T(E_0-fL)} から、∂flog⁡Z=βTL‾\partial_f\log Z=\beta_T\overline L。さらに微分すると

k=βT(L2‾−L‾,2)=(L−L‾)2‾kBT.\boxed{k=\beta_T\left(\overline{L^2}-\overline L^{,2}\right) =\frac{\overline{(L-\overline L)^2}}{k_BT}.}

この導出は要素間の独立性を必要としない。

Reference​

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