京都大学理学研究科物理学・宇宙物理学専攻 2019年度問題III-1

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

自然長 $a$ 、ばね定数 $k$ のばねで質点を一直線につなぐ。まず図1の両端固定、全長 $4a$ の鎖の3質点を考え、左から位置を $a+x_1,2a+x_2,3a+x_3$ 、質量を $m,M,m$ とする。 $\omega_0=\sqrt{2k/m}$ 、 $\beta=m/M$ とおく。

原題図1：両端固定の3質点ばね系

両外側の質点を $x_1=x_3=0$ に固定したとき、初期条件 $x_2(0)=X,\dot x_2(0)=V$ に対する運動を求めよ。
全質点を自由に動かした運動方程式を求め、 $x_j=A_j\cos\omega t$ として、小さい順の基準角振動数 $\omega_s,\omega_c,\omega_l$ の二乗を求めよ。
$\beta=1$ で各モードの $A_2,A_3$ を $A_1$ で表せ。
$0\leq\beta\leq2$ で $\omega_s^2/\omega_0^2,\omega_c^2/\omega_0^2,\omega_l^2/\omega_0^2$ を図示し、 $\beta=0,1$ の値を示せ。

次に図2のように十分多数の質点を同じばねで一直線につなぎ、中央の $n=0$ のみ質量 $M$ 、残りは $m$ とする。平衡位置は $na$ 、変位を $x_n$ とする。

原題図2：中央の質量が異なるばね鎖

中央を角振動数 $\omega$ で強制振動させる。 $x_n=\operatorname{Re}[B_ne^{i\omega t}]$ 、 $B_n=B_0b^n$ を質量 $m$ の運動方程式へ代入し、 $b$ と $|b|\neq1$ となる条件を求めよ。 $|b|=1$ は進行波、 $|b|<1$ は局在波に対応する。
強制力を止める。 $M<m$ では局在した基準振動が存在する。左右で $|n|$ とともに減衰する解を選び、 $x_{-1},x_{+1}$ を $x_0,b$ で表せ。中央の運動方程式からその角振動数を求め、 $m\to\infty$ の極限も求めよ。

如上方图1，三质点以相同弹簧连接两固定端，弹簧自然长 $a$ 、劲度 $k$ ，质量为 $m,M,m$ ，平衡位置为 $a,2a,3a$ 。定义 $\omega_0=\sqrt{2k/m},\beta=m/M$ 。

(1) $M\ddot x_2=-2kx_2$ 。 $\Omega=\sqrt{2k/M}$ とおけば

\boxed{x_2=X\cos\Omega t+\frac V\Omega\sin\Omega t.}

(2) 運動方程式は

m\ddot x_1=k(x_2-2x_1),\quad M\ddot x_2=k(x_1-2x_2+x_3),\quad m\ddot x_3=k(x_2-2x_3).

$z=\omega^2/\omega_0^2$ とすると固有方程式は $(z-1)[z^2-(1+\beta)z+\beta/2]=0$ 。したがって

\boxed{\frac{\omega_s^2}{\omega_0^2}=\frac{1+\beta-\sqrt{1+\beta^2}}2,\quad \frac{\omega_c^2}{\omega_0^2}=1,\quad \frac{\omega_l^2}{\omega_0^2}=\frac{1+\beta+\sqrt{1+\beta^2}}2.}

(3) $\beta=1$ では順に

\boxed{(A_1,A_2,A_3)\propto(1,\sqrt2,1),\ (1,0,-1),\ (1,-\sqrt2,1).}

質量比と三つの基準振動数

$\beta=0$ で値は $(0,1,1)$ 、 $\beta=1$ で $(1-1/\sqrt2,1,1+1/\sqrt2)$ 。上下の枝は単調増加し、中間の枝は一定である。 $\beta=0$ は $M\to\infty$ の極限を意味する。

$n\neq0$ では $m\ddot x_n=k(x_{n-1}-2x_n+x_{n+1})$ 。 $z=\omega^2/\omega_0^2$ とすると

b+b^{-1}=2(1-z),\qquad \boxed{b=1-z\pm\sqrt{(1-z)^2-1}.}

実周波数では $0\leq z\leq2$ で $|b|=1$ 、 $z>2$ で互いに逆数の負の実根を持つ。従って

\boxed{|b|\neq1\ \Longleftrightarrow\ \omega^2>2\omega_0^2.}

$z>2$ では $b=1-z+\sqrt{(1-z)^2-1}$ が $-1<b<0$ を満たす。左右に減衰させるには $B_n=B_0b^{|n|}$ とすればよく、 $x_{-1}=x_{+1}=bx_0$ 。中央の式から $z=\beta(1-b)$ 。これと (5) を連立すると

\boxed{b=-\frac1{2\beta-1},\qquad \omega^2=\frac{2\beta^2}{2\beta-1}\omega_0^2.}

局在条件 $|b|<1$ は $\beta>1$ 、すなわち $M<m$ と一致する。 $M,k$ を固定して $m\to\infty$ とすると、周囲は動かなくなり

\boxed{\omega\longrightarrow\sqrt{2k/M}.}