京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2018年8月実施 問題I-3-ABCD Author 祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)
Description I-3A（力学）
一様な重力加速度 g g g M 0 M_0 M 0 u u u t = 0 t=0 t = 0 t t t M ( t ) M(t) M ( t ) v ( t ) v(t) v ( t )
I-3B（誤差統計）
確率変数 k k k P λ ( k ) = e − λ λ k / k ! P_\lambda(k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k! P λ ( k ) = e − λ λ k / k ! k = 0 , 1 , 2 , … k=0,1,2,\ldots k = 0 , 1 , 2 , … λ \lambda λ
(1) パラメータ λ \lambda λ
(2) ある物体から放出される粒子を検出する測定を考える。検出される粒子の数はポアソン分布に従うとする。検出される粒子の数の標準偏差が平均値の1%以下になるようにしたい。どれだけの粒子数を検出する必要があるか。
I-3C（量子力学）
ハミルトニアンが
H = − ℏ 2 2 m ( ∂ 2 ∂ x 1 2 + ∂ 2 ∂ x 2 2 ) + λ ∣ x 1 − x 2 ∣ H=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}\right)+\lambda|x_1-x_2| H = − 2 m ℏ 2 ( ∂ x 1 2 ∂ 2 + ∂ x 2 2 ∂ 2 ) + λ ∣ x 1 − x 2 ∣ で与えられる、1次元方向に束縛されたスピン 1 / 2 1/2 1/2 x 1 , x 2 ∈ R x_1,x_2\in\mathbb R x 1 , x 2 ∈ R m m m ℏ \hbar ℏ 2 π 2\pi 2 π λ \lambda λ
I-3D（物理数学）
ベクトル量 r ⃗ = ( x , y , z ) \vec r=(x,y,z) r = ( x , y , z ) f ( r ⃗ ) = A exp ( − β ∣ r ⃗ ∣ 2 ) f(\vec r)=A\exp(-\beta|\vec r|^2) f ( r ) = A exp ( − β ∣ r ∣ 2 ) f ( r ⃗ ) f(\vec r) f ( r )
∫ d 3 r ⃗ f ( r ⃗ ) = 1 \int d^3\vec r\,f(\vec r)=1 ∫ d 3 r f ( r ) = 1 を満たすように係数 A A A
∫ 0 ∞ s 2 e − a s 2 d s = π 4 a 3 / 2 \int_0^\infty s^2e^{-as^2}\,ds=\frac{\sqrt\pi}{4a^{3/2}} ∫ 0 ∞ s 2 e − a s 2 d s = 4 a 3/2 π を用いてよい。また、∣ r ⃗ ∣ |\vec r| ∣ r ∣ ⟨ ∣ r ⃗ ∣ 2 ⟩ \langle|\vec r|^2\rangle ⟨ ∣ r ∣ 2 ⟩
题目描述
I-3A（力学）
在均匀重力加速度 g g g M 0 M_0 M 0 u u u t = 0 t=0 t = 0 t t t M ( t ) M(t) M ( t ) v ( t ) v(t) v ( t )
I-3B（误差统计）
若随机变量 k k k P λ ( k ) = e − λ λ k / k ! P_\lambda(k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k! P λ ( k ) = e − λ λ k / k ! k = 0 , 1 , 2 , … k=0,1,2,\ldots k = 0 , 1 , 2 , … λ \lambda λ
(1) 求参数为 λ \lambda λ
(2) 考虑探测某物体发射的粒子的测量，设探测到的粒子数服从泊松分布。希望探测粒子数的标准差不超过均值的1%，需要探测多少个粒子？
I-3C（量子力学）
考虑由两个束缚在一维方向、具有自旋 1 / 2 1/2 1/2
H = − ℏ 2 2 m ( ∂ 2 ∂ x 1 2 + ∂ 2 ∂ x 2 2 ) + λ ∣ x 1 − x 2 ∣ . H=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}\right)+\lambda|x_1-x_2|. H = − 2 m ℏ 2 ( ∂ x 1 2 ∂ 2 + ∂ x 2 2 ∂ 2 ) + λ ∣ x 1 − x 2 ∣. 其中 x 1 , x 2 ∈ R x_1,x_2\in\mathbb R x 1 , x 2 ∈ R m m m ℏ \hbar ℏ 2 π 2\pi 2 π λ \lambda λ
I-3D（物理数学）
设矢量 r ⃗ = ( x , y , z ) \vec r=(x,y,z) r = ( x , y , z ) f ( r ⃗ ) = A exp ( − β ∣ r ⃗ ∣ 2 ) f(\vec r)=A\exp(-\beta|\vec r|^2) f ( r ) = A exp ( − β ∣ r ∣ 2 ) A A A f ( r ⃗ ) f(\vec r) f ( r )
∫ d 3 r ⃗ f ( r ⃗ ) = 1. \int d^3\vec r\,f(\vec r)=1. ∫ d 3 r f ( r ) = 1. 可以使用积分公式
∫ 0 ∞ s 2 e − a s 2 d s = π 4 a 3 / 2 . \int_0^\infty s^2e^{-as^2}\,ds=\frac{\sqrt\pi}{4a^{3/2}}. ∫ 0 ∞ s 2 e − a s 2 d s = 4 a 3/2 π . 并求 ∣ r ⃗ ∣ |\vec r| ∣ r ∣ ⟨ ∣ r ⃗ ∣ 2 ⟩ \langle|\vec r|^2\rangle ⟨ ∣ r ∣ 2 ⟩
Kai I-3A
時間 d t dt d t − d M -dM − d M v − u v-u v − u
M d v = − M g d t − u d M . M\,dv=-Mg\,dt-u\,dM. M d v = − M g d t − u d M . M ( 0 ) = M 0 , v ( 0 ) = 0 M(0)=M_0,v(0)=0 M ( 0 ) = M 0 , v ( 0 ) = 0
M v ˙ = − M g − u M ˙ , v ( t ) = u log M 0 M ( t ) − g t . \boxed{M\dot v=-Mg-u\dot M,\qquad v(t)=u\log\frac{M_0}{M(t)}-gt.} M v ˙ = − M g − u M ˙ , v ( t ) = u log M ( t ) M 0 − g t . I-3B
(1) 級数の添字をずらせば ⟨ k ⟩ = λ \langle k\rangle=\lambda ⟨ k ⟩ = λ ⟨ k ( k − 1 ) ⟩ = λ 2 \langle k(k-1)\rangle=\lambda^2 ⟨ k ( k − 1 )⟩ = λ 2
⟨ k ⟩ = λ , Var ( k ) = λ . \boxed{\langle k\rangle=\lambda,\qquad \operatorname{Var}(k)=\lambda.} ⟨ k ⟩ = λ , Var ( k ) = λ . (2) λ / λ ≤ 0.01 \sqrt\lambda/\lambda\leq0.01 λ / λ ≤ 0.01 λ ≥ 10 4 \boxed{\lambda\geq10^4} λ ≥ 1 0 4 10 4 10^4 1 0 4
I-3C
X = ( x 1 + x 2 ) / 2 X=(x_1+x_2)/2 X = ( x 1 + x 2 ) /2 x = x 1 − x 2 x=x_1-x_2 x = x 1 − x 2
H = − ℏ 2 4 m ∂ X 2 − ℏ 2 m ∂ x 2 + λ ∣ x ∣ . H=-\frac{\hbar^2}{4m}\partial_X^2-\frac{\hbar^2}{m}\partial_x^2+\lambda|x|. H = − 4 m ℏ 2 ∂ X 2 − m ℏ 2 ∂ x 2 + λ ∣ x ∣. 重心運動を除く一次元の偶対称ポテンシャルでは、基底状態は節を持たない偶関数、第一励起状態は一つの節を持つ奇関数である。同種フェルミ粒子の全状態は交換反対称なので、基底状態のスピンは反対称な一重項、第一励起状態は対称な三重項となる。
S g r o u n d = 0 , S f i r s t = 1. \boxed{S_{\mathrm{ground}}=0,\qquad S_{\mathrm{first}}=1.} S ground = 0 , S first = 1. 角運動量の大きさとしては、それぞれ 0 , 2 ℏ 0,\sqrt2\hbar 0 , 2 ℏ
I-3D
規格化可能であるために β > 0 \beta>0 β > 0
1 = A ( π β ) 3 / 2 , ⟨ r 2 ⟩ = − ∂ β log ( π β ) 3 / 2 . 1=A\left(\frac\pi\beta\right)^{3/2},\qquad
\langle r^2\rangle=-\partial_\beta\log\left(\frac\pi\beta\right)^{3/2}. 1 = A ( β π ) 3/2 , ⟨ r 2 ⟩ = − ∂ β log ( β π ) 3/2 . よって
A = ( β / π ) 3 / 2 , ⟨ r 2 ⟩ = 3 / ( 2 β ) . \boxed{A=(\beta/\pi)^{3/2},\qquad\langle r^2\rangle=3/(2\beta).} A = ( β / π ) 3/2 , ⟨ r 2 ⟩ = 3/ ( 2 β ) . Reference