京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2018年8月実施 問題I-2-AB

标签：

• 京都大学
• 角动量守恒与面积速度
• 二体有心力问题与有效势
• 产生与湮灭算符
• 位移谐振子的一阶微扰

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

I-2A（力学）

質量 $M_s$ の太陽の周りを質量 $M_p(\ll M_s)$ の惑星が公転している。ケプラーの法則から、万有引力の法則

$$F=-G\frac{M_sM_p}{r^2}$$

を導いてみよう。

太陽は不動であると近似し、公転面内で太陽を原点とする極座標 $(r,\theta)$ を用いると、惑星にはたらく加速度は、一般にその運動状態から、

$$a_r=\frac{d^2r}{dt^2}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2,\qquad a_\theta=\frac1r\frac d{dt}\left(r^2\frac{d\theta}{dt}\right)$$

となる。ケプラーの第2法則によれば惑星の面積速度（惑星と太陽を結ぶ直線が単位時間に掃く面積 $=\frac12r^2\frac{d\theta}{dt}$）は一定である。したがって、$a_\theta=0$ であり、惑星にはたらく力の $\theta$ 成分はゼロである。惑星にはたらく力は $r$ 方向のみと考えられる。ケプラーの第1法則によれば、この惑星の公転軌道は楕円である。その面積は、楕円の長半径 $a$、離心率 $\epsilon$ を使って、$\pi a^2\sqrt{1-\epsilon^2}$ と表せる。

(1) 惑星の公転周期 $T$ と楕円の面積から面積速度を求め、$d\theta/dt$ を $T$ を含んだ式で表せ。

(2) $r$ の時間に関する1階微分と2階微分は、

$$\frac{dr}{dt}=\boxed{\mathrm A}\,\frac d{d\theta}\left(\frac1r\right),\qquad \frac{d^2r}{dt^2}=\boxed{\mathrm B}\,\frac{d^2}{d\theta^2}\left(\frac1r\right)$$

と表せる。$\boxed{\mathrm A}$、$\boxed{\mathrm B}$ に入る適切な式を $T$ を含んだ形で求めよ。

(3) 楕円の $r$ と $\theta$ の関係 $r=a(1-\epsilon^2)/(1+\epsilon\cos\theta)$ を用いると、$a_r=k_{sp}/r^2$ となる。$k_{sp}$ を $a,T$ を用いて表せ。

以上を踏まえて、ニュートンが行ったであろうアプローチを考えてみよう。惑星は太陽によって $F_p=a_rM_p=k_{sp}M_p/r^2$ の大きさの力で引かれている。ケプラーの第3法則によれば、$k_{sp}$ は惑星によらず一定である。一方、太陽と惑星の役割を入れかえても同様に力の表式が成り立つと仮定すると、太陽が惑星から受ける力 $F_s$ は、$F_s=k_{ps}M_s/r^2$ であり、$k_{ps}$ は太陽の性質によらないと推論される。$\boxed{\mathrm C}$ このように考えると、$k_{sp}=-GM_s$、$k_{ps}=-GM_p$ となることを示すことができ、万有引力の法則が導かれる。

(4) $\boxed{\mathrm C}$ にあてはまる適切な説明を簡潔に書け。

I-2B（量子力学）

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の一次元調和振動子を考える。この系のエネルギー固有状態は、交換関係 $[\hat a,\hat a^\dagger]=1$ を満たす生成演算子 $\hat a^\dagger$ と消滅演算子 $\hat a$ により、$|n\rangle=(\hat a^\dagger)^n|0\rangle/\sqrt{n!}$（$n=0,1,2,3,\ldots$）と表すことができる。ここで、$|0\rangle$ は基底状態を表す。なお、以下で、$\hbar$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものである。

(1) 位置演算子が $\hat x=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}(\hat a+\hat a^\dagger)$ と書けることを用いて、$\langle n'|\hat x|n\rangle$、$\langle n'|\hat x^2|n\rangle$ をクロネッカーのデルタを使って表せ。

(2) 調和振動子が以下の4つのポテンシャル $V_1(x)=Ax$、$V_2(x)=Bx^2$、$V_3(x)=Cx^3$、$V_4(x)=Dx^4$ のそれぞれにより摂動を受けたとする。これらのうち、$|n\rangle$ の固有エネルギー $E_n$ に対して1次の摂動による変化が生じるものはどれかを答えよ。また、その理由を、ハミルトニアンの対称性の観点から簡単に説明せよ。さらに、1次の摂動によるエネルギー変化が生じるものについて、その大きさを $\hbar,m,\omega,n$ および $A,B,C,D$ のうち必要なものを用いて表せ。

(3) 調和振動子に $V_1(x)+V_2(x)$ の摂動が加わったときのエネルギー固有値の厳密解を求めよ。

题目描述

I-2A（力学）

质量为 $M_p(\ll M_s)$ 的行星绕质量为 $M_s$ 的太阳公转。试从开普勒定律导出万有引力定律

$$F=-G\frac{M_sM_p}{r^2}.$$

近似认为太阳静止，在公转平面内使用以太阳为原点的极坐标 $(r,\theta)$。一般地，由运动状态可得行星的加速度为

$$a_r=\frac{d^2r}{dt^2}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2,\qquad a_\theta=\frac1r\frac d{dt}\left(r^2\frac{d\theta}{dt}\right).$$

根据开普勒第二定律，行星的面积速度（行星与太阳的连线在单位时间扫过的面积 $=\frac12r^2\frac{d\theta}{dt}$）恒定。因此 $a_\theta=0$，作用于行星的力的 $\theta$ 分量为0，力仅沿 $r$ 方向。根据开普勒第一定律，行星公转轨道是椭圆。用椭圆的长半轴 $a$ 和离心率 $\epsilon$，面积可表示为 $\pi a^2\sqrt{1-\epsilon^2}$。

(1) 根据行星的公转周期 $T$ 和椭圆面积求面积速度，并将 $d\theta/dt$ 表示为包含 $T$ 的表达式。

(2) $r$ 对时间的一阶和二阶导数可写为

$$\frac{dr}{dt}=\boxed{\mathrm A}\,\frac d{d\theta}\left(\frac1r\right),\qquad \frac{d^2r}{dt^2}=\boxed{\mathrm B}\,\frac{d^2}{d\theta^2}\left(\frac1r\right).$$

求空格 $\boxed{\mathrm A}$、$\boxed{\mathrm B}$ 中的适当表达式，须包含 $T$。

(3) 使用椭圆的关系式 $r=a(1-\epsilon^2)/(1+\epsilon\cos\theta)$，可得 $a_r=k_{sp}/r^2$。用 $a,T$ 表示 $k_{sp}$。

在此基础上，考虑牛顿可能采用的推理方法。太阳以大小为 $F_p=a_rM_p=k_{sp}M_p/r^2$ 的力吸引行星。根据开普勒第三定律，$k_{sp}$ 是与行星无关的常数。另一方面，假设互换太阳与行星的角色后，相同形式的力的表达式仍成立，则太阳受到行星的力为 $F_s=k_{ps}M_s/r^2$，并可推知 $k_{ps}$ 与太阳的性质无关。$\boxed{\mathrm C}$ 如此考虑，可证明 $k_{sp}=-GM_s$、$k_{ps}=-GM_p$，从而导出万有引力定律。

(4) 简要写出适合填入 $\boxed{\mathrm C}$ 的说明。

I-2B（量子力学）

考虑质量为 $m$、角频率为 $\omega$ 的一维谐振子。其能量本征态可用满足对易关系 $[\hat a,\hat a^\dagger]=1$ 的产生算符 $\hat a^\dagger$ 和湮灭算符 $\hat a$ 表示为 $|n\rangle=(\hat a^\dagger)^n|0\rangle/\sqrt{n!}$，其中 $n=0,1,2,3,\ldots$，$|0\rangle$ 表示基态。以下 $\hbar$ 为普朗克常数除以 $2\pi$。

(1) 利用位置算符 $\hat x=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}(\hat a+\hat a^\dagger)$，用 Kronecker δ 表示 $\langle n'|\hat x|n\rangle$ 和 $\langle n'|\hat x^2|n\rangle$。

(2) 假设谐振子分别受到以下四个势的微扰：$V_1(x)=Ax$、$V_2(x)=Bx^2$、$V_3(x)=Cx^3$、$V_4(x)=Dx^4$。哪些会使 $|n\rangle$ 的本征能量 $E_n$ 产生一阶微扰修正？从哈密顿量对称性的角度简要说明理由。对产生一阶能量变化的势，从 $\hbar,m,\omega,n,A,B,C,D$ 中选用必要的量表示其变化大小。

(3) 求谐振子受到微扰 $V_1(x)+V_2(x)$ 时能量本征值的严格解。

Kai

I-2A

(1) 面積速度は $\pi a^2\sqrt{1-\epsilon^2}/T$。したがって、$h=2\pi a^2\sqrt{1-\epsilon^2}/T$ とおけば

$$\boxed{\dot\theta=h/r^2.}$$

(2) $u=1/r$ とすると $\dot r=-h u'$、$\ddot r=-h^2u^2u''$ だから

$$\boxed{A=-\frac{2\pi a^2\sqrt{1-\epsilon^2}}T,\qquad B=-\frac{4\pi^2a^4(1-\epsilon^2)}{T^2r^2}.}$$

(3) $u''+u=1/[a(1-\epsilon^2)]$ より

$$a_r=-\frac{h^2}{r^2}(u''+u)=-\frac{4\pi^2a^3}{T^2r^2},\qquad \boxed{k_{sp}=-4\pi^2a^3/T^2.}$$

(4) 作用・反作用の法則から両者が受ける力の大きさは等しく、$k_{sp}M_p=k_{ps}M_s$。よって $k_{sp}/M_s=k_{ps}/M_p$ はいずれの物体にも依存しない負の普遍定数 $-G$ である。

I-2B

(1) $x_0=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}$ とおく。$\hat a|n\rangle=\sqrt n|n-1\rangle$ より

$$\boxed{\langle n'|\hat x|n\rangle=x_0\left(\sqrt n\,\delta_{n',n-1}+\sqrt{n+1}\,\delta_{n',n+1}\right),}$$

$$\boxed{\begin{aligned} \langle n'|\hat x^2|n\rangle=x_0^2\bigl[&\sqrt{n(n-1)}\delta_{n',n-2}\\ &+(2n+1)\delta_{n',n}\\ &+\sqrt{(n+1)(n+2)}\delta_{n',n+2}\bigr]. \end{aligned}}$$

(2) 無摂動固有状態は確定したパリティを持つので、奇関数 $V_1,V_3$ の期待値はゼロである。一方、$\langle x^4\rangle=\|x^2|n\rangle\|^2=3x_0^4(2n^2+2n+1)$ より

$$\boxed{\begin{aligned} \Delta E_n^{(1)}[V_2]&=\frac{B\hbar}{m\omega}(n+\tfrac12),\\ \Delta E_n^{(1)}[V_4]&=\frac{3D\hbar^2}{4m^2\omega^2}(2n^2+2n+1). \end{aligned}}$$

(3) $m\omega^2+2B>0$ のとき、$\Omega=\sqrt{\omega^2+2B/m}$ とおけば

$$\frac{m\omega^2}2x^2+Ax+Bx^2= \frac{m\Omega^2}2\left(x+\frac{A}{m\Omega^2}\right)^2-\frac{A^2}{2m\Omega^2}.$$

したがって

$$\boxed{E_n=\hbar\Omega(n+\tfrac12)-\frac{A^2}{2(m\omega^2+2B)},\quad n=0,1,\ldots.}$$

$m\omega^2+2B\leq0$ では閉じ込める調和ポテンシャルを失い、この離散束縛スペクトルは存在しない。

Reference

• 京都大学公式原題（2019年度、PDF 4–5ページ）