京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2018年8月実施 問題I-1

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• 电磁波
• 传导电流与位移电流

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

真空領域から、巨視的には電気的に中性なプラズマが存在する領域（電離層）へ伝播する電磁波を考える。2つの領域は $z=0$ の平面で隔てられ、$z<0$ の領域は真空、$z>0$ の領域は空間的に一様なプラズマが分布しており、電離電子の数密度は $n$ であるとする。簡単のため、プラズマの熱運動はないものとし、イオンの運動は無視する。なお、電子の変位は微小であるとする。電磁波はマックスウェル方程式

$$\vec\nabla\cdot\vec E=0\tag{A}$$

$$\vec\nabla\times\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}\tag{B}$$

$$\vec\nabla\times\vec B=\mu_0\vec J+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}\tag{C}$$

$$\vec\nabla\cdot\vec B=0\tag{D}$$

に従う。ここで、$\vec E,\vec B$ はそれぞれ電場、磁束密度、$\vec J$ は電流密度、$\mu_0,\epsilon_0$ はそれぞれ真空の透磁率、真空の誘電率である。

電離層中の電子は入射する電磁波の電場により加速される。このとき、電子の電荷を $e$、質量を $m$、速度を $\vec v$ とすると、一つの電子の運動は、運動方程式

$$m\frac{d\vec v}{dt}=e\vec E$$

に従うものとする（ここで、電磁波の磁場による力は無視できるとした）。なお、解答には SI 単位系を用いよ。

(1) 電離層中での電流密度 $\vec J$ の時間微分 $\partial\vec J/\partial t$ は電場 $\vec E$ を用いて、

$$\frac{\partial\vec J}{\partial t}=\boxed{\text{あ}}\,\vec E$$

と書ける。$\boxed{\text{あ}}$ に入る適切な式を求めよ。

(2) 式 (A)～(D) のマックスウェル方程式から磁束密度 $\vec B$ を消去することで、電場 $\vec E$ についての波動方程式を求めると、

$$\vec\nabla^2\vec E=\boxed{\text{い}}\,\vec E+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}$$

となる。このとき、$n,\mu_0,\epsilon_0,e,m$ のうち必要なものを用いて $\boxed{\text{い}}$ に入る適切な式を求めよ。

(3) 電離層中（$z>0$）での平面波（角振動数 $\omega$、電離層中の波数 $k'$）の分散関係は、光速 $c\ (=1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0})$ とプラズマ振動数 $\omega_p$ を用いて、

$$\omega^2=c^2k'^2+\omega_p^2$$

と与えられる。このとき、$\omega_p$ を $n,\mu_0,\epsilon_0,e,m$ のうち必要なものを用いて表せ。

以下では、真空中（$z<0$）を $+z$ 方向に進む入射波の電場を $\vec E_i=\mathrm{Re}[E_0e^{i(kz-\omega t)}]\vec e_x$ とする。ただし、$E_0$ は定数であり、$\vec e_x$ は $x$ 方向の単位ベクトルである。

(4) $\omega>\omega_p$ のとき、電離層中の電場は波数 $k'$ の平面波である。$z=0$ での接続条件から、反射波と透過波の電場（それぞれ $\vec E_r,\vec E_t$ とする）を求めよ。

(5) 小問 (4) において、電離層中での透過波のポインティングベクトル $\vec S$ の時間平均 $\langle\vec S\rangle$ の向きと大きさを、$z=+0$ において求めよ。

(6) $\omega<\omega_p$ のとき、$z=+0$ でのポインティングベクトルの時間平均を求めよ。

题目描述

考虑从真空区域传播到宏观上电中性的等离子体区域（电离层）的电磁波。两个区域由平面 $z=0$ 分隔，$z<0$ 为真空，$z>0$ 均匀分布着等离子体，电离电子的数密度为 $n$。为简单起见，设等离子体没有热运动，忽略离子的运动，并设电子位移微小。电磁波满足 Maxwell 方程

$$\vec\nabla\cdot\vec E=0,\tag{A}$$

$$\vec\nabla\times\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t},\tag{B}$$

$$\vec\nabla\times\vec B=\mu_0\vec J+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t},\tag{C}$$

$$\vec\nabla\cdot\vec B=0.\tag{D}$$

其中 $\vec E,\vec B$ 分别是电场、磁通密度，$\vec J$ 是电流密度，$\mu_0,\epsilon_0$ 分别是真空磁导率和真空介电常数。

电离层中的电子受入射电磁波的电场加速。设电子电荷为 $e$、质量为 $m$、速度为 $\vec v$，单个电子满足运动方程

$$m\frac{d\vec v}{dt}=e\vec E,$$

其中忽略了电磁波磁场产生的力。使用 SI 单位制作答。

(1) 电离层中的电流密度 $\vec J$ 的时间导数可以通过电场 $\vec E$ 写为

$$\frac{\partial\vec J}{\partial t}=\boxed{\text{あ}}\,\vec E.$$

求空格 $\boxed{\text{あ}}$ 中的适当表达式。

(2) 从 Maxwell 方程 (A)–(D) 中消去磁通密度 $\vec B$，得到关于电场 $\vec E$ 的波动方程

$$\vec\nabla^2\vec E=\boxed{\text{い}}\,\vec E+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}.$$

从 $n,\mu_0,\epsilon_0,e,m$ 中选用必要的量，求空格 $\boxed{\text{い}}$ 中的适当表达式。

(3) 电离层中（$z>0$）的平面波（角频率 $\omega$、电离层内波数 $k'$）的色散关系可以用光速 $c=1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}$ 和等离子体频率 $\omega_p$ 表示为

$$\omega^2=c^2k'^2+\omega_p^2.$$

从 $n,\mu_0,\epsilon_0,e,m$ 中选用必要的量，表示 $\omega_p$。

以下设在真空（$z<0$）中沿 $+z$ 方向传播的入射波电场为 $\vec E_i=\mathrm{Re}[E_0e^{i(kz-\omega t)}]\vec e_x$，其中 $E_0$ 为常数，$\vec e_x$ 为 $x$ 方向的单位矢量。

(4) 当 $\omega>\omega_p$ 时，电离层中的电场为波数 $k'$ 的平面波。根据 $z=0$ 处的衔接条件，求反射波和透射波的电场，分别记为 $\vec E_r,\vec E_t$。

(5) 对第 (4) 问的情况，求电离层中透射波的 Poynting 矢量 $\vec S$ 的时间平均 $\langle\vec S\rangle$ 在 $z=+0$ 处的方向和大小。

(6) 当 $\omega<\omega_p$ 时，求 $z=+0$ 处 Poynting 矢量的时间平均。

Kai

(1)–(3)

$\boldsymbol J=ne\boldsymbol v$ より $\partial_t\boldsymbol J=(ne^2/m)\boldsymbol E$。ファラデーの式の回転を取り、$\nabla\cdot\boldsymbol E=0$ を使うと

$$\nabla^2\boldsymbol E=\mu_0\partial_t\boldsymbol J+\mu_0\varepsilon_0\partial_t^2\boldsymbol E.$$

したがって

$$\boxed{\text{あ}=\frac{ne^2}{m},\quad \text{い}=\frac{\mu_0ne^2}{m},\quad \omega_p=\sqrt{\frac{ne^2}{m\varepsilon_0}}.}$$

(4)

$k=\omega/c$、$k'=\sqrt{\omega^2-\omega_p^2}/c>0$。複素電場振幅を $E_r,E_t$ とすると、接線電場・磁場の連続性から

$$E_0+E_r=E_t,\qquad k(E_0-E_r)=k'E_t.$$

よって

$$\boxed{\begin{aligned} \boldsymbol E_r&=\operatorname{Re}\left[\frac{k-k'}{k+k'}E_0e^{i(-kz-\omega t)}\right]\boldsymbol e_x,\\ \boldsymbol E_t&=\operatorname{Re}\left[\frac{2k}{k+k'}E_0e^{i(k'z-\omega t)}\right]\boldsymbol e_x. \end{aligned}}$$

(5)

透過波の磁場振幅は $\widetilde{\boldsymbol B}_t=(k'/\omega)E_t\boldsymbol e_y$。したがって

$$\boxed{\langle\boldsymbol S_t\rangle= \frac{k'}{2\mu_0\omega}\left|\frac{2kE_0}{k+k'}\right|^2\boldsymbol e_z.}$$

向きは $+z$ である。

(6)

$\kappa=\sqrt{\omega_p^2-\omega^2}/c$ とすると、有界な透過波は $k'=i\kappa$ に対応する。電場は $e^{-\kappa z}$ に比例し、磁場振幅は $(i\kappa/\omega)E_t\boldsymbol e_y$。電場と磁場の位相差が $\pi/2$ なので

$$\boxed{\langle\boldsymbol S_t\rangle=\frac1{2\mu_0}\operatorname{Re}(\widetilde{\boldsymbol E}_t\times\widetilde{\boldsymbol B}_t^*)=\boldsymbol0.}$$

Reference

• 京都大学公式原題（2019年度、PDF 2–3ページ）