京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2018年8月実施 問題II-2 Author 祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)
Description 図1のように平面上に乗る半径 R R R C C C m m m e e e e > 0 e>0 e > 0 C C C C C C Φ \Phi Φ C C C ψ ( σ ) \psi(\sigma) ψ ( σ ) ψ ( σ + 2 π R ) = ψ ( σ ) \psi(\sigma+2\pi R)=\psi(\sigma) ψ ( σ + 2 π R ) = ψ ( σ ) σ = R θ \sigma=R\theta σ = Rθ C C C 2 π 2\pi 2 π ℏ \hbar ℏ
(1) Φ = 0 \Phi=0 Φ = 0 ψ ( σ ) \psi(\sigma) ψ ( σ ) E E E
(2) Φ ≠ 0 \Phi\ne0 Φ = 0 σ \sigma σ A σ A_\sigma A σ C C C A σ A_\sigma A σ Φ \Phi Φ R R R
(3) A σ A_\sigma A σ A σ = 0 A_\sigma=0 A σ = 0 σ \sigma σ p σ p_\sigma p σ p σ − e A σ p_\sigma-eA_\sigma p σ − e A σ A σ A_\sigma A σ C C C A σ A_\sigma A σ
(4) 磁束 Φ \Phi Φ Φ = 0 \Phi=0 Φ = 0 Φ > 0 \Phi>0 Φ > 0 Φ = 0 \Phi=0 Φ = 0 Φ \Phi Φ Φ 0 \Phi_0 Φ 0
(5) 磁束 Φ \Phi Φ Φ = 0 \Phi=0 Φ = 0 Φ = Φ 0 \Phi=\Phi_0 Φ = Φ 0 Φ \Phi Φ
次に、この系にポテンシャル
V ( σ ) = λ cos ( 2 σ R ) V(\sigma)=\lambda\cos\left(\frac{2\sigma}{R}\right) V ( σ ) = λ cos ( R 2 σ ) （λ \lambda λ
ν \nu ν m e ν ( ξ , q ) \mathrm{me}_\nu(\xi,q) me ν ( ξ , q ) q q q ξ \xi ξ
d 2 d ξ 2 φ ( ξ ) + ( a − 2 q cos ( 2 ξ ) ) φ ( ξ ) = 0 (A) \frac{d^2}{d\xi^2}\varphi(\xi)+(a-2q\cos(2\xi))\varphi(\xi)=0\tag{A} d ξ 2 d 2 φ ( ξ ) + ( a − 2 q cos ( 2 ξ )) φ ( ξ ) = 0 ( A ) の解であり、
m e ν ( ξ + π , q ) = e i ν π m e ν ( ξ , q ) , m e ν ( ξ , 0 ) = e i ν ξ \mathrm{me}_\nu(\xi+\pi,q)=e^{i\nu\pi}\mathrm{me}_\nu(\xi,q),\qquad
\mathrm{me}_\nu(\xi,0)=e^{i\nu\xi} me ν ( ξ + π , q ) = e i ν π me ν ( ξ , q ) , me ν ( ξ , 0 ) = e i ν ξ を満たす。ここで、ν = ν ( a , q ) \nu=\nu(a,q) ν = ν ( a , q ) a , q a,q a , q ν \nu ν m e ν ( ξ , q ) \mathrm{me}_\nu(\xi,q) me ν ( ξ , q ) m e − ν ( ξ , q ) \mathrm{me}_{-\nu}(\xi,q) me − ν ( ξ , q )
(6) この系のシュレディンガー方程式は、ξ = σ / R \xi=\sigma/R ξ = σ / R ψ ( σ ) = e i k ξ φ ( ξ ) \psi(\sigma)=e^{ik\xi}\varphi(\xi) ψ ( σ ) = e ik ξ φ ( ξ ) k k k k , a , q k,a,q k , a , q Φ , Φ 0 , λ \Phi,\Phi_0,\lambda Φ , Φ 0 , λ E E E
(7) k , a , q k,a,q k , a , q ψ ( σ ) = e i k ξ m e ν ( ξ , q ) \psi(\sigma)=e^{ik\xi}\mathrm{me}_\nu(\xi,q) ψ ( σ ) = e ik ξ me ν ( ξ , q ) ψ ( σ ) \psi(\sigma) ψ ( σ ) ν \nu ν
(8) 図2は、0 < q ≪ 1 0<q\ll1 0 < q ≪ 1 q q q a a a ν \nu ν ν = 1.0 \nu=1.0 ν = 1.0 a a a a = 1.0 a=1.0 a = 1.0 a a a ν \nu ν 0 < q ≪ 1 0<q\ll1 0 < q ≪ 1 λ \lambda λ
题目描述
如图1，考察质量为 m m m e e e e > 0 e>0 e > 0 R R R C C C C C C Φ \Phi Φ C C C ψ ( σ ) \psi(\sigma) ψ ( σ ) ψ ( σ + 2 π R ) = ψ ( σ ) \psi(\sigma+2\pi R)=\psi(\sigma) ψ ( σ + 2 π R ) = ψ ( σ ) σ = R θ \sigma=R\theta σ = Rθ C C C 2 π 2\pi 2 π ℏ \hbar ℏ
(1) 在 Φ = 0 \Phi=0 Φ = 0 E E E ψ ( σ ) \psi(\sigma) ψ ( σ )
(2) 在 Φ ≠ 0 \Phi\ne0 Φ = 0 σ \sigma σ A σ A_\sigma A σ C C C Φ , R \Phi,R Φ , R A σ A_\sigma A σ
(3) 对一般的 A σ A_\sigma A σ A σ = 0 A_\sigma=0 A σ = 0 σ \sigma σ p σ p_\sigma p σ p σ − e A σ p_\sigma-eA_\sigma p σ − e A σ A σ A_\sigma A σ C C C A σ A_\sigma A σ
(4) 当磁通 Φ \Phi Φ Φ = 0 \Phi=0 Φ = 0 Φ > 0 \Phi>0 Φ > 0 Φ 0 \Phi_0 Φ 0
(5) 使磁通从 Φ = 0 \Phi=0 Φ = 0 Φ = Φ 0 \Phi=\Phi_0 Φ = Φ 0 Φ \Phi Φ
接着考虑对系统加入势
V ( σ ) = λ cos ( 2 σ R ) , λ > 0 , V(\sigma)=\lambda\cos\left(\frac{2\sigma}{R}\right),\qquad\lambda>0, V ( σ ) = λ cos ( R 2 σ ) , λ > 0 , 利用以下 Mathieu 函数的性质研究能谱的变化。
将 ν \nu ν m e ν ( ξ , q ) \mathrm{me}_\nu(\xi,q) me ν ( ξ , q ) q q q ξ \xi ξ
d 2 d ξ 2 φ ( ξ ) + ( a − 2 q cos ( 2 ξ ) ) φ ( ξ ) = 0 (A) \frac{d^2}{d\xi^2}\varphi(\xi)+(a-2q\cos(2\xi))\varphi(\xi)=0\tag{A} d ξ 2 d 2 φ ( ξ ) + ( a − 2 q cos ( 2 ξ )) φ ( ξ ) = 0 ( A ) 的解，并满足
m e ν ( ξ + π , q ) = e i ν π m e ν ( ξ , q ) , m e ν ( ξ , 0 ) = e i ν ξ . \mathrm{me}_\nu(\xi+\pi,q)=e^{i\nu\pi}\mathrm{me}_\nu(\xi,q),\qquad
\mathrm{me}_\nu(\xi,0)=e^{i\nu\xi}. me ν ( ξ + π , q ) = e i ν π me ν ( ξ , q ) , me ν ( ξ , 0 ) = e i ν ξ . ν = ν ( a , q ) \nu=\nu(a,q) ν = ν ( a , q ) a , q a,q a , q ν \nu ν m e ν ( ξ , q ) \mathrm{me}_\nu(\xi,q) me ν ( ξ , q ) m e − ν ( ξ , q ) \mathrm{me}_{-\nu}(\xi,q) me − ν ( ξ , q )
(6) 令 ξ = σ / R \xi=\sigma/R ξ = σ / R ψ ( σ ) = e i k ξ φ ( ξ ) \psi(\sigma)=e^{ik\xi}\varphi(\xi) ψ ( σ ) = e ik ξ φ ( ξ ) k k k Φ , Φ 0 , λ \Phi,\Phi_0,\lambda Φ , Φ 0 , λ E E E k , a , q k,a,q k , a , q
(7) 当 k , a , q k,a,q k , a , q ψ ( σ ) = e i k ξ m e ν ( ξ , q ) \psi(\sigma)=e^{ik\xi}\mathrm{me}_\nu(\xi,q) ψ ( σ ) = e ik ξ me ν ( ξ , q ) ν \nu ν
(8) 图2表示固定某个满足 0 < q ≪ 1 0<q\ll1 0 < q ≪ 1 q q q a a a ν \nu ν a = 1.0 a=1.0 a = 1.0 a a a ν = 1.0 \nu=1.0 ν = 1.0 a a a ν \nu ν 0 < q ≪ 1 0<q\ll1 0 < q ≪ 1 λ \lambda λ
Kai (1)–(4)
Φ = 0 \Phi=0 Φ = 0 − ℏ 2 ψ ′ ′ / ( 2 m ) = E ψ -\hbar^2\psi''/(2m)=E\psi − ℏ 2 ψ ′′ / ( 2 m ) = E ψ
ψ n ( σ ) = e i n σ / R 2 π R , E n ( 0 ) = ℏ 2 n 2 2 m R 2 , n ∈ Z . \boxed{\psi_n(\sigma)=\frac{e^{in\sigma/R}}{\sqrt{2\pi R}},\quad
E_n(0)=\frac{\hbar^2n^2}{2mR^2},\quad n\in\mathbb Z.} ψ n ( σ ) = 2 π R e inσ / R , E n ( 0 ) = 2 m R 2 ℏ 2 n 2 , n ∈ Z . ストークスの定理から 2 π R A σ = Φ 2\pi R A_\sigma=\Phi 2 π R A σ = Φ E R = ℏ 2 / ( 2 m R 2 ) E_R=\hbar^2/(2mR^2) E R = ℏ 2 / ( 2 m R 2 )
A σ = Φ 2 π R , E n = 1 2 m ( ℏ n R − e A σ ) 2 = E R ( n − f ) 2 , Φ 0 = 2 π ℏ e , f = Φ Φ 0 . \boxed{\begin{aligned}
A_\sigma&=\frac{\Phi}{2\pi R},\\
E_n&=\frac1{2m}\left(\frac{\hbar n}R-eA_\sigma\right)^2=E_R(n-f)^2,\\
\Phi_0&=\frac{2\pi\hbar}e,\qquad f=\frac\Phi{\Phi_0}.
\end{aligned}} A σ E n Φ 0 = 2 π R Φ , = 2 m 1 ( R ℏ n − e A σ ) 2 = E R ( n − f ) 2 , = e 2 π ℏ , f = Φ 0 Φ . f f f n n n
(5)
0 ≤ f ≤ 1 / 2 0\leq f\leq1/2 0 ≤ f ≤ 1/2 n = 0 , 1 , − 1 n=0,1,-1 n = 0 , 1 , − 1 1 / 2 ≤ f ≤ 1 1/2\leq f\leq1 1/2 ≤ f ≤ 1 n = 1 , 0 , 2 n=1,0,2 n = 1 , 0 , 2 f = 0 , 1 f=0,1 f = 0 , 1 f = 1 / 2 f=1/2 f = 1/2
(6)・(7)
シュレディンガー方程式は
[ E R ( − i ∂ ξ − f ) 2 + λ cos 2 ξ ] ψ = E ψ . \left[E_R(-i\partial_\xi-f)^2+\lambda\cos2\xi\right]\psi=E\psi. [ E R ( − i ∂ ξ − f ) 2 + λ cos 2 ξ ] ψ = E ψ . ψ = e i f ξ φ \psi=e^{if\xi}\varphi ψ = e i f ξ φ
k = f , a = E E R , q = λ 2 E R = m R 2 λ ℏ 2 . \boxed{k=f,\qquad a=\frac E{E_R},\qquad q=\frac\lambda{2E_R}=\frac{mR^2\lambda}{\hbar^2}.} k = f , a = E R E , q = 2 E R λ = ℏ 2 m R 2 λ . 一周で ψ \psi ψ e 2 π i ( f + ν ) e^{2\pi i(f+\nu)} e 2 πi ( f + ν )
ν = n − f , n ∈ Z . \boxed{\nu=n-f,\qquad n\in\mathbb Z.} ν = n − f , n ∈ Z . (8)
ポテンシャルの行列要素は
⟨ n ′ ∣ V ∣ n ⟩ = λ 2 ( δ n ′ , n + 2 + δ n ′ , n − 2 ) . \langle n'|V|n\rangle=\frac\lambda2(\delta_{n',n+2}+\delta_{n',n-2}). ⟨ n ′ ∣ V ∣ n ⟩ = 2 λ ( δ n ′ , n + 2 + δ n ′ , n − 2 ) . f = 0 f=0 f = 0 n = ± 1 n=\pm1 n = ± 1 E R ± λ / 2 E_R\pm\lambda/2 E R ± λ /2 f = 1 f=1 f = 1 n = 0 , 2 n=0,2 n = 0 , 2
一方、偶数 n n n n n n f = 1 / 2 f=1/2 f = 1/2 n ↦ 1 − n n\mapsto1-n n ↦ 1 − n λ / E R \lambda/E_R λ / E R
Reference 
